第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.＝( )． A．2B.C.D.解析 原式＝＝＝.答案 D2．(2022·汕头调研)若＝，则tan2α等于( )．A.B．－C.D．－解析 ＝＝＝，∴tanα＝2，∴tan2α＝＝＝－，故选D.答案 D3．计算的值为( )．A．－2B．2C．－1D．1解析 ＝7\n＝＝＝＝＝1.答案 D4．若tan＝3，则＝( )．A．3B．－3C.D．－解析 ∵tan＝＝3，∴tanθ＝－.∴＝＝＝＝3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·南通模拟)设f(x)＝＋sinx＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________.解析 f(x)＝＋sinx＋a2sin＝cosx＋sinx＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin.依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.答案 ±6．(2022·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．7\n解析 ∵α为锐角且cos＝，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·广州调研)已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.又2α∈，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.(2)∵β∈，β－∈，sin＝，∴cos＝，于是sin2＝2sincos＝.7\n又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－，又2β∈，∴sin2β＝，又cos2α＝＝，α∈，∴cosα＝，sinα＝.∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.8．(13分)已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．解 (1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin.因此，函数f(x)的最小正周期为＝π.(2)因为f(x)＝sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝sin＝－sin＝－1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.分层B级 创新能力提升1．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为( )．A．1B.C．1或D．1或107\n解析 tan(α＋β)＝1⇒＝＝1⇒lg2a＋lga＝0，所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.答案 C2．(2022·浙江)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )．A.B．－C.D．－解析 ∵0<α<，∴<α＋<.∵cos＝，∴sin＝.∵－<β<0，∴<－<.∵cos＝，∴sin＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.答案 C3．已知cos＝，且α∈，则＝________.解析 ∵cos＝(cosα＋sinα)＝，∴sinα＋cosα＝，1＋2sinαcosα＝，2sinαcosα＝，7\n1－2sinαcosα＝，又∵α∈，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα＝，＝＝(cosα－sinα)＝.答案 4．(2022·九江模拟)方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tanA，tanB，且A，B∈，则A＋B＝________.解析 由题意知tanA＋tanB＝－3a<－6，tanA·tanB＝3a＋1>7，∴tanA<0，tanB<0，tan(A＋B)＝＝＝1.∵A，B∈，∴A，B∈，∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－.答案 －5．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝，求sin2α的值．解 (1)由已知，f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，所以cos＝.7\n所以sin2α＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝1－＝.6．(2022·四川)函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．解 (1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋sinωx＝2sin，又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x0)＝，由(1)有f(x0)＝2sin＝，即sin＝.由x0∈，知＋∈，所以cos＝＝.故f(x0＋1)＝2sin＝2sin＝2＝2×＝.7
