【备战2022】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题08立体几何文【2022高考真题精选】1．（2022·重庆）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围为( )A．(0，)B．(0，)C．(1，)D．(1，)2．（2022·陕西）将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )3．（2022·安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤105\n从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．4．（2022·上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．π.5．（2022·上海）如图1－1，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2，求：图1－1(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．【答案】解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，105\n6．（2022·天津）一个几何体的三视图如图1－2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.7．（2022·辽宁）一个几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为________．图1－3105\n8．（2022·课标全国）如图1－2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )图1－3A．6B．9C．12D．189.（2022·浙江）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该三棱锥的体积是( )A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm3105\n10．（2022·陕西）将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )图1－3图1－4【答案】B 【解析】分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.12.（2022·湖北）已知某几何体的三视图如图1－4所示，则该几何体的体积为________．13．（2022·广东）某几何体的三视图如图1－1所示，它的体积为( )105\n图1－1A．72πB．48πC．30πD．24π【答案】C 【解析】根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R＝3，圆锥半径R＝3，高为4，所以V组合体＝V半球＋V圆锥＝×π×33＋π×32×4＝30π，所以选择C.14．（2022·福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【答案】D 【解析】球的三视图大小、形状相同，三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有D不同．15．（2022·安徽）某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积等于________．图1－2【答案】56 【解析】如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为V＝Sh＝×4×4＝56.16．（2022·北京）某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是( )图1－4105\nA．28＋6B．30＋6C．56＋12D．60＋1217．（2022·湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )图1－1【答案】C 【解析】本题考查三视图，意在考查考生三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握．选项A,B,D，都有可能，选项C的正视图应该有看不见的虚线，故C是不可能的．18．（2022·江西）若一个几何体的三视图如图1－2所示，则此几何体的体积为( )A.B．5C.D．4105\n19．（2022·山东）如图1－6，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.图1－6(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【答案】证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，105\n105\n因为△ABD为正三角形．所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.20．（2022·辽宁）如图1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)取A′B′中点P，连结MP，NP，M、N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP＝P，105\n因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN.因此MN∥平面A′ACC′.(2)(解法一)连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.(解法二)VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.21．（2022·北京）如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图1－9(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．105\n105\n21．（2022·江苏）如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，105\n所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.22．（2022·浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β23．（2022·江西）如图1－7，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4，现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，VCDEFG＝SCDEF·GH＝16.24．（2022·四川）如图1－4，在正方体ABCD－A1B1C105\n1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.图1－4【答案】90° 【解析】因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，故A1在平面CDD1C1上的射影为D1，即A1M在平面CDD1C1上的射影为D1M，而在正方形CDD1C1中，由tan∠DD1M＝tan∠CDN＝，可知D1M⊥DN，由三垂线定理可知，A1M⊥DN.25．（2022·重庆）已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．图1－3105\n取z1＝1，得m＝(，0,1)．设平面B1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n⊥，n⊥，即取z2＝－1，得n＝(，0，－1)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.105\n所以二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值为.26．（2022·浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β27．（2022·浙江）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：(i)EF∥A1D1；(ii)BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．图1－5【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，105\n28．（2022·天津）如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．105\n29．（2022·陕西）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C1－ABA1的体积．图1－7【答案】解：(1)证明：如图，连结AB1，105\n∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.又∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A.∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝，∴AC＝A1C1＝1，由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，∴VC1－ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.30．（2022·课标全国）如图1－4，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.31.（2022·山东）如图1－6，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.图1－6105\n(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.105\n32．（2022·湖南）如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.105\n图1－8又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°.由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO.在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为AD＋BC＝×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD中，OD＝AD＝2，所以PD＝2OD＝4，PA＝＝4.故四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×9×4＝12.33．（2022·湖北）某个实心零部件的形状是如图1－7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.图1－7(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？105\n34．（2022·广东）如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.图1－5【答案】解：(1)由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，故AB⊥PH.105\n35．（2022·安徽）如图1－3，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．(1)证明：BD⊥EC1；(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的长．105\n所以AA1的长为3.36．（2022·北京）如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图1－9(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；105\n(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．105\n37．（2022·江苏）如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，105\n所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.38．（2022·全国）如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD105\n因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，cos〈n，〉＝＝，〈n，〉＝60°.105\n因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.39．（2022·重庆）已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．＝(2，，－h)．由⊥得·＝0，即8－h2＝0，因此h＝2.105\n40．（2022·山东）如图1－3所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．图1－3【答案】. 【解析】本题考查棱锥的体积公式，考查空间想象力与转化能力，容易题．VA－DED1＝VE－DD1A＝××1×1×1＝.41．（2022·江苏）如图1－2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.105\n42.（2022·浙江）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该三棱锥的体积是( )A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm343．（2022·陕西）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C1－ABA1的体积．105\n44．（2022·湖南）如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.图1－8又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°.由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO.在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△105\nBOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为AD＋BC＝×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD中，OD＝AD＝2，所以PD＝2OD＝4，PA＝＝4.故四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×9×4＝12.45．（2022·湖北）某个实心零部件的形状是如图1－7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.图1－7(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(cm2)．又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形．所以S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×(AB＋A1B1)h等腰梯形的高＝202＋4×(10＋20)105\n＝1120(cm2)．于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1300＋1120＝2420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2420＝484(元)．46．（2022·福建）如图1－3所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.图1－3【答案】解：(1)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1，又S△MCC1＝CC1×CD＝×2×1＝1，∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝.(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．连接C1M，在△C1MC中，MC1＝，MC＝，CC1＝2.∴CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M；同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.47．（2022·北京）如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图1－9(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．105\n105\n48．（2022·北京）某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是( )图1－4A．28＋6B．30＋6C．56＋12D．60＋12【答案】B 【解析】本题考查三棱锥的三视图与表面积公式．由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S底面＝×5×4＝10，105\nS后＝×5×4＝10，S左＝×6×2＝6，S右＝×4×5＝10，所以S表＝10×3＋6＝30＋6.49．（2022·安徽）某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积等于________．图1－2【答案】56 【解析】如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为V＝Sh＝×4×4＝56.50．（2022·全国）如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．图1－1105\n设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.105\n51．（2022·课标全国）如图1－4，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；105\n(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．52．（2022·辽宁）如图1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)图1－5【答案】解：(1)(证法一)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，105\n53．（2022·辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，若PA＝2，则△OAB的面积为________．图1－4105\n54．（2022·课标全国）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )A.πB．4πC．4πD．6π【答案】B 【解析】由题意，球的半径为R＝＝，所以球的体积为V＝πR3＝4π.故选B.55．（2022·重庆）已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．105\n56．（2022·重庆）已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．105\n图1－4故＝(－2,0,2)，＝(2,0,2)，＝(0，，0)．设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥，m⊥，即105\n取z1＝1，得m＝(，0,1)．设平面B1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n⊥，n⊥，即取z2＝－1，得n＝(，0，－1)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.所以二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值为.57．（2022·浙江）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：(i)EF∥A1D1；(ii)BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.105\n由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝.在直角△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得sin∠BC1H＝＝，所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.58．（2022·天津）如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．105\n59．（2022·上海）如图1－1，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2，求：图1－1105\n(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．60．（2022·安徽）如图1－3，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．(1)证明：BD⊥EC1；(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的长．图1－3105\n61．（2022·全国）已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )A．2B.C.D．1【答案】D 【解析】本小题主要考查正四棱柱的性质以及直线到平面的距离的概念．解题的突破口为直线到平面的距离的转化．由已知可得AC1＝4，取AC与BD的中点O，连OE，显然有AC1∥OE且平面ACC1A1⊥平面BED，∴AC1与平面BED的距离即为AC1与OE的距离，又∵AB＝2，CC1＝2，∴AC＝2，CC1＝AC，∴平面AA1C1为正方形，∴AC1与平面BED的距离为CA1＝1，故选D.62．（2022·全国）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．105\n63．（2022·全国）如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.105\n即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.105\n因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，cos〈n，〉＝＝，〈n，〉＝60°.因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.64．（2022·四川）下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行65．（2022·四川）如图1－3，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP＝60°，则A、P两点间的球面距离为( )A．RarccosB.C．RarccosD.105\n66．（2022·广东）如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.105\n67．（2022·福建）如图1－3所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.105\n68．（2022·安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．105\n69．（2022·四川）如图1－5，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角B－AP－C的大小．解法二：(1)设AB的中点为D，连结CD.105\n因为O在AB上，且O为P在平面ABC上的射影，所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥AB，且PO⊥CD.由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB.如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.【2022高考真题精选】105\n1.(2022年高考安徽卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为2．(2022年高考广东卷文科9)如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．43B．4C．23D．2【答案】C【解析】由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，所以选择C.105\n332正视图侧视图俯视图图13．（2022年高考湖南卷文科4)设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。4．（2022年高考湖北卷文科7)设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是A.V1比V2大约多一半B.V1比V2大约多两倍半C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半答案：D解析：设球半径为R，其内接正方体棱长为a，则，即由，比较可得应选D.5.（2022年高考山东卷文科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.6.（2022年高考海南卷文科第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（）105\n7.（2022年高考浙江卷文科4)若直线不平行于平面，且，则(A)内的所有直线与异面(B)内不存在与平行的直线(C)内存在唯一的直线与平行(D)内的直线与都相交【答案】B【解析】：直线不平行于平面，所以与相交，故选B8.（2022年高考辽宁卷文科8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是(A)4(B)(c)2(D)9.（2022年高考全国卷文科8)已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于105\n（A）（B）（C）（D）10.（2022年高考全国卷文科12)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为(A)(B)(c)(D)【答案】D【解析】解：由圆的面积为得，，在故选D11.（2022年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）105\n【答案】D【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.12.（2022年高考四川卷文科6)，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A）//（B）,//（C）////，，共面（D），，共点，，共面答案：B解析：若则有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然，或共点，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.13.（2022年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为,球半径为,则,解得,所以对应球心距为,故小圆锥的高为,大圆锥的高为,所以之比为.14.（2022年高考福建卷文科15)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于_____________.105\n15.(2022年高考天津卷文科10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为.【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.16．（2022年高考湖南卷文科19)（本题满分12分）如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．（I）证明：（II）求直线和平面所成角的正弦值．105\n17.(2022年高考天津卷文科17)（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,为PD的中点.(Ⅰ)证明PB∥平面;(Ⅱ)证明AD⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线与平面ABCD所成角的正切值.105\n18.（2022年高考福建卷文科20)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。求证：CE⊥平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积105\n19．（2022年高考陕西卷文科16)（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ ）设BD=1，求三棱锥D—的表面积。20.（2022年高考湖北卷文科18)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且.(Ⅰ)求证：105\n(Ⅱ)求二面角的大小.21.（2022年高考浙江卷文科20)（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.105\n22.(2022年高考江苏卷16)如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：105\n23.(2022年高考江苏卷22)（本小题满分10分）如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。（1）当时，求的长；（2）当时，求的长。105\n25.(2022年高考安徽卷文科19)（本小题满分13分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。（Ⅰ）证明直线∥；（II）求棱锥F-OBED的体积。105\n26.（2022年高考全国卷文科20)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.105\n（Ⅰ）证明：;（Ⅱ)求与平面所成角的大小.【2022高考真题精选】1.（2022陕西文数）8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是105\n（A）2（B）1（C）（D）【答案】B【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为2.（2022辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（A）4（B）3（C）2（D）【答案】A.【解析】由已知，球的直径为，表面积为3.（2022全国卷2文数）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个4.（2022全国卷2文数）（8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A）(B)(C)(D)105\n5.（2022安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372（B）360（C）292（D）280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.6.（2022重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点105\n（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D7.（2022浙江文数）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）cm3（B）cm3（C）cm3（D）cm3【答案】B【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题。8.（2022福建文数）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于()A．B．2C．D．6【答案】D105\n【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D．9.（2022全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)(B)(C)(D)10.（2022全国卷1文数）（9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,ABCDA1B1C1D1O则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，105\n11.（2022全国卷1文数）(6)直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°【答案】C【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，12.（2022四川文数）（12）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是（A）（B）（C）（D）【答案】A105\n13.（2022天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。14.（2022四川文数）（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.105\n15.（2022陕西文数）18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.解(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.105\n∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.【2022高考真题精选】1.(广东文6理5)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④答案：D解析：①错,②正确,③错,④正确.故选D2.(宁夏海南文9理8)如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（A）（B）（C）三棱锥的体积为定值（D）异面直线所成的角为定值解析：A正确，易证B显然正确，；C正确，可用等积法求得；D错误。选D.3.(山东文理4)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().105\nA.B.C.D.22侧(左)视图222正(主)视图解析：:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为，所以该几何体的体积为.答案：C4.(辽宁文5)如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（A）0.8（B）0.75（C）0.5（D）0.25解析：设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°＝R而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.答案：C5.(浙江文4)设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：C解析：此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．6.(2022·安徽文20)本小题满分13分如图，ABCD的边长为2的正方形，直线与平面ABCD平行，E和F式上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC,和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（1）证明：直线垂直且平分线段AD：105\n（2）若∠EAD=∠EAB,EF2,求多面体ABCDEF的体积。∴又∴多面体ABCDEF的体积为。7.(2022·福建文20)（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面（I）求证：105\n（Ⅱ）求三棱锥的侧面积。又平面平面平面平面，平面而平面综上，三棱锥的侧面积，8.(2022·广东文17)（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.105\n（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEG（２）该安全标识墩的体积为： （３）如图,连结EG,HF及BD，EG与HF相交于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知,平面EFGH,又平面PEG又平面PEG；105\n9.(2022·辽宁文19)（本小题满分12分）如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；（II）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。【解析】解：（Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，105\n10.(2022·宁夏海南文19)（18）（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若，且平面⊥平面，求三棱锥体积。【解析】解：（Ⅰ）因为是等边三角形，,所以,可得。如图，取中点，连结,,则,,所以平面,105\n12.（2022·山东文18）（（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E分别是棱AD、AA的中点.EABCFE1A1B1C1D1D设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.【解析】证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，EABCFE1A1B1C1D1DF1连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.EABCFE1A1B1C1D1D（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=2,F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，105\n,△ACF为等腰三角形，且所以AC⊥BC,又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.13．(2022·浙江文1920220423)20220423（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．所以14．（2022·天津文理19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=105\nAD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。（II）证明：因为（III）由（I）可得，方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）105\n所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为【2022年高考真题精选】1.（2022·海南、宁夏文科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________解析：∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径∴∴球的体积答案：2.（2022·海南、宁夏文科卷）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β解析：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然，但ＡＣ不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；105\n答案：D3．（2022·广东文科卷）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。4．（2022·山东文科卷）ABCMPD如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积．解析：（Ⅰ）证明：在中，由于，，，所以．105\n【最新模拟】1．（2022·韶关模拟）三棱柱的直观图和三视图(正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形)如图K27－3所示，则这个三棱柱的全面积等于( )图K27－3A．12＋4B．6＋2C．8＋4D．4【答案】A 【解析】由三视图的数据可知，三棱柱的全面积为105\nS＝2××2×2＋(2＋2＋2)×2＝12＋4，选A.2．（2022·辽宁模拟）已知球的直径SC＝4，A，B是球面上的两点，AB＝2，∠BSC＝∠ASC＝45°，则棱锥S－ABC的体积是( )A.B.C.D.3．（2022·江西模拟）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，m⊂β，n∥β，m∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确命题的个数是( )A．1B．2C．3D．44．（2022·衡水中学模拟）四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形．则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．【答案】5 【解析】四棱锥P－ABCD，如图，互相垂直的异面直线有PA与BC，CD，BD；AD与PB，PC；共5对．5．（2022·哈尔滨模拟）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M为D1C1上的点，且D1M∶MC1＝3∶1，则CM和平面AB1D1所成角的大小是θ，则sinθ等于( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】易证CA1⊥D1B1，CA1⊥D1A，CA1⊥105\n平面AB1D1，所以CM和平面AB1D1所成角θ是∠A1CM的余角，则sinθ＝cos∠A1CM＝，A1C＝，CM＝，A1M＝，∴sinθ＝cos∠A1CM＝＝.6．（2022·辽宁模拟）棱长为1的正方体和它的外接球被一个平面所截，截面是一个圆及其内接正三角形，那么球心到截面的距离等于________．7．（2022·山东模拟）如图G8－5，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．105\n8【天津市新华中学2022届高三上学期第三次月考数学试卷】设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】若，，所以，又，所以，即，所以选C.9.【山东省济宁市2022届高三上学期期末考试文】下列命题中错误的是A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面105\nB.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，，那么直线平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D【解析】根据面面垂直的的性质可知，D错误。10.【2022届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】一个平面图形的面积为，其直观图的面积为，则（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】直观图在底不变的情况下，高变为原来的倍。设平面图形的高为，直观图的高为，则有，即，所以，选A.11.【2022届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．当且是在内的射影，若，则D．当且时，若，则【答案】D【解析】选项中，当，若共面，则有，若不共面，则不成立，所以选D.12.【2022年山东省临沂市高三教学质量检测考试】具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为105\n(A)3(B)7+3(C)(D)14【答案】D【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大。四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为，选D.13.【2022河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A．26B．27C．D．28【答案】C【解析】根据三视图知，该几何体由棱长为3的正方体和底面积为，高为1的三棱锥组成，所以其体积14.【广东省揭阳市2022届高三3月第一次高考模拟】一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位:）则该组合体的体积为．A.72000B.64000C.56000D.44000【答案】B【解析】由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积，故选B.15.【广西百所高中2022届高三年级第三届联考】如图，三棱锥P—ABC中，平面ABC，PA=2，是边长为的正三角形，点D是PB的中点，则异面直线PA与CD所成角的正切值为（）105\nA．B．C．D．【答案】B【解析】取AB的中点E，连结CE，DE，则为PA与CD所成的角，由已知得，DE=1，，∴16.【山东省济宁市2022届高三上学期期末考试】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.B.C.1D.2【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是放倒的三棱柱，三棱柱的高为，三角形的两直角边分别为，所以三棱柱的体积为，选C.17.【山东省济宁市2022届高三上学期期末考试文】.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是.【答案】105\n【解析】由三视图可知，该几何体的上面是个半球，球半径为1，下面是个圆柱，底面半径为1，圆柱的高为1.所以该几何体的体积为。18【上海市普陀2022届高三一模】三棱锥S-ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH将三棱锥S-ABC分成两部分的体积之比为.【答案】1:1【解析】取AB中点I，连HI、GI，则EFA-HGI是三棱柱，由于I是AB中点，∴B与A到面HGI的距离相等，∴VEFA-HGI=3VB-HGI，而VB-HGI:VB-SAC=1:23=1:8，令VB-HGI=1，则VEFA-HGI=3，∴VB-HGI+VEFA-HGI=4，故分成两部分的体积之比为为1:1.19.【2022年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1(I)若M、N分别是AB，A1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1(II)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B上的动点，当PA＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC。【解析】（Ⅰ）证明：连接则,因为AM=MB,所以MN……………3分又,所以MN//.…………5分（Ⅱ）将平面展开到与平面共面,到的位置，此时为菱形，…………7分可知即为的最小值，…………9分此时，,所以,，即，，105\n所以，.……………12分20.【湖北省八校2022届高三第二次联考】（本小题满分12分）如图直三棱柱的侧棱长为3，，且，点分别是棱上的动点，且.(Ⅰ)求证：无论E在何处，总有；(Ⅱ)当三棱锥的体积取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.，，……12分21【天津市新华中学2022届高三上学期第二次月考文】如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，、、分别为、、中点，。105\n（1）求与平面所成角；（2）求证：；（3）求多面体的体积。【答案】解：（1）取中点，连、∵平面平面，交线为∵正∵平面即为所求。（2）∵正∵是中点∵平面平面，交线为平面平面105\n平面（3）22.【云南省玉溪一中2022届高三第四次月考文】（本小题满分12分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．105\n105
