第八单元 推理与证明第43讲 合情推理与演绎推理 1.迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数．小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数．他写出不是质数的一个数是( )A．1643B．1679C．1681D．1697 2.由“直线与圆相切时，圆心与切点的连线与直线垂直”，想到“平面与球相切时，球心与切点的连线与平面垂直”，用的是( )A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．特殊推理 3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“＝”类比得到“＝”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4 4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⃘平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误4\nC．推理形式错误D．非以上错误 5.△ABC中，若sinA·sinB<cosA·cosB，则该三角形是( )A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上都不可能 6.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________． 7.在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作．设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)．计算b1，b2，b3，并归纳出bn的计算公式． 1.半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子________________________．②②式可用语言叙述为：________________________________________________. 2.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝______；当n>4时，f(n)＝____________________.(用含n的数学表达式表示)4\n 3.在△ABC中，∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．第43讲巩固练习1．C 2.C 3.B4．A 解析：直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线．5．B 解析：因为sinA·sinB<cosA·cosB，所以cos(A＋B)>0，所以cos(π－C)>0，所以cosC<0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．6.a3解析：在已知的平面图形中，中心O到两边的距离相等(如右图)，即OM＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，所以Rt△OPN≌Rt△ORM，因此S四边形OPAR＝S正方形OMAN＝a2.同样地，类比到空间，如下图．则这两个正方体重叠部分的体积为a3.7．解析：b1＝＝(r＋p)；b2＝＝[()2·r＋p＋p]；4\nb3＝＝[()3·r＋p＋p＋p]．所以归纳得bn＝[()n·r＋p＋p＋…＋p]．提升能力1．(πR3)′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析：利用类比推理与导数定义可得．2．5 解析：求出f(3)，f(4)，f(5)再进行归纳推理．f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数，所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1，累加得，f(n)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝·(n－2)＝.3．解析：如图，由平面类比到空间，有下列猜想：“在三棱锥P—ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”证明：设P在平面ABC上的射影为O，记PO＝h，PC⊥PA且PC⊥PB⇒PC⊥PM(M为CO与AB的交点)，且∠PMC＝α，cosα＝sin∠PCO＝，同理cosβ＝，cosγ＝，又PA·PB·PC＝(PA·PBcosα＋PB·PCcosβ＋PC·PAcosγ)·h，即(＋＋)h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.4
