考点规范练36 直接证明与间接证明一、非标准1.(2022山东,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+( )A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于24.(2022天津模拟)p=,q=(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为( )A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不确定5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定7.用反证法证明“如果a>b,那么”假设内容应是 . 8.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足 . 9.设直线l与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证:A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是定值.10.已知在数列{an}中,a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2,且n∈N+).(1)证明:数列为等差数列;\n(2)求数列{an}的前n项和Sn.11.已知m>1,a=,b=,则以下结论正确的是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b大小不定12.(2022上海华师附中一模)如果a+b>a+b,那么a,b应满足的条件是 . 13.如图,在△ABC中,=(x,y),=(u,v),求证:△ABC的面积S△ABC=|xv-yu|.14.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.\n15.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(n∈N+),求证:在数列{bn}中,任意不同的三项都不可能成为等比数列.##一、非标准1.A 解析:“至少有一个”的否定为“没有”.2.D 解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.3.D 解析:∵a>0,b>0,c>0,∴≥6,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.4.B 解析:q==p.5.A 解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.6.C 解析:由sinAsinC<cosAcosC得,cosAcosC-sinAsinC>0,即cos(A+C)>0,则A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形.7. 解析:假设结论不成立,即的否定为.8.a2>b2+c2 解析:由余弦定理cosA=<0,则b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.9.证明:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.所以=2px1·2px2=4p2x1x2=-4p2y1y2.所以y1y2=-4p2.所以x1x2=-y1y2=4p2,所以x1x2,y1y2都是定值,即A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是定值.10.(1)证明:设bn=,则b1==2.因为bn+1-bn===1,\n所以数列为首项是2,公差是1的等差数列.(2)解:由(1)知,+(n-1)×1,则an=(n+1)·2n+1.因为Sn=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+,所以Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,①2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1.②②-①,得Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1=n·2n+1,所以Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).11.B 解析:∵a=,b=,又,∴,即a<b.12.a≥0,b≥0,且a≠b 解析:∵a+b>a+b⇔()2·()>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.13.证明:因为S△ABC=|·||sin∠BAC===,而=(x,y),=(u,v),所以△ABC的面积S△ABC==|xv-yu|.14.证明:(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC.又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.15.(1)解:由已知得解得d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).\n(2)证明:由(1)得bn==n+.假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r∈N+,且互不相等)成等比数列,则=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+).则(q2-pr)+(2q-p-r)=0.∵p,q,r∈N+,∴∴=pr,(p-r)2=0.∴p=r,与p≠r矛盾.∴在数列{bn}中,任意不同的三项都不可能成等比数列.
