点到直线的距离公式两条平行直线间的距离基础过关练题组一 点到直线的距离 1.已知直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为( )A.1B.2C.2D.222.(2021山东菏泽郓城一中高二上第一次月考)已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.2B.95C.85D.753.(2021山东济宁实验中学高二月考)点P(-5,7)到直线12x+5y-1=0的距离为 . 4.(2021山东德州夏津一中高二上月考)已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为12,则a= . 5.在直线x+3y=0上求一点P,使点P到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.题组二 两条平行直线间的距离6.(2021江西南昌二中高二上月考)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为( )A.8B.4C.85D.327.(2020浙江杭州高二上期末)已知P、Q分别为直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0上的两个动点,则线段PQ的长度的最小值为( )A.35B.1C.65D.28.(2020重庆一中高二上期中)已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2之间的距离为( )A.15B.55C.35D.3559.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.9,9,题组三 距离公式的综合应用10.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是( )A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=011.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+∞)D.(0,17]12.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )A.0B.1C.2D.313.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC边所在直线的方程;(2)求△ABC的面积.能力提升练题组一 点到直线的距离1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=02.(多选)()已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为( )A.-6B.1C.-12D.129,3.(2020安徽合肥一中高二上期中,)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是 . 题组二 两条平行直线间的距离4.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A.32B.23C.33D.425.(2019河北衡水冀州中学高一月考,)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:(1)P是第一象限的点;(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的12;(3)P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2∶5?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.题组三 距离公式的综合应用6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B32,12,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为( ) A.1302B.13+322C.13D.327.(多选)(2021山东德州夏津一中高二上月考,)已知直线l的一个方向向量为u=-36,12,且l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是( )A.l的倾斜角等于150°B.l在x轴上的截距等于233C.l与直线3x-3y+2=0垂直D.l上不存在与原点距离等于18的点8.(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.(1)证明:直线恒过定点P;(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少?(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.9,9,答案全解全析基础过关练1.C 由已知得,kl1=-a,kl2=1,∵l1⊥l2,∴-a×1=-1,解得a=1.此时直线l1的方程为x+y-1=0,∴点(1,2)到直线l1的距离d=|1+2-1|12+12=2,故选C.2.B 由题意得|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,∴|PQ|min=|3×(-2)+4×3+3|9+16=95.故选B.3.答案 2解析 点P到直线的距离d=|12×(-5)+5×7-1|122+52=2.4.答案 ±33解析 由点到直线的距离公式得|3+a-3|1+a2=12,解得a=±33.5.解析 由题意可设P(-3y0,y0),则9y02+y02=|-3y0+3y0-2|12+32,即10|y0|=210,∴y0=±15.故点P的坐标为-35,15或35,-15.6.D 易得l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-1|62+82=32,故选D.7.B 由直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0,可得直线l1与l2平行.当PQ的长度为两平行线间的距离时,线段PQ的长度最小,则l1与l2之间的距离为|1-(-4)|32+42=1,故线段PQ的长度的最小值为1.故选B.8.D 由l1∥l2得,a=-12,因此l1:2x-y-2=0,∴l1与l2之间的距离d=|-2-1|22+(-1)2=35=355,故选D.9.解析 ①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,则l1的斜截式方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的点斜式方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,因为直线l1过点A(0,1),所以点A到直线l2的距离d=|-1-5k|k2+(-1)2=5,所以25k2+10k+1=25k2+25,解得k=125,所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.②若l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,满足条件.综上所述,满足条件的直线方程有两组:l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.9,10.D 依题意知,所求点的轨迹为直线,且与已知直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0(C≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得|C+1|32+42=|C+1|5=2,则C1=-11或C2=9,故所求点的轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.11.A 易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|=(2+1)2+(-1-3)2=5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5].12.C 由x-2y+3=0,2x+3y-8=0,得x=1,y=2,即直线l过点Q(1,2).因为|PQ|=(1-0)2+(2-4)2=5>2,所以满足条件的直线l有2条.故选C.13.解析 (1)由题可知,直线BC过点B(2,3),C(3,-2),∴方程为x-23-2=y-3-2-3,化简得5x+y-13=0,∴直线BC的方程为5x+y-13=0.(2)由题可知|BC|=(3-2)2+(-2-3)2=26,A(1,1)到直线BC的距离d=|5+1-13|25+1=72626,∴S△ABC=12·|BC|·d=12×26×72626=72.能力提升练1.A 根据题意得,当所求直线与直线OA垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选A.2.AD 由题意得|3m+2+3|m2+1=|-m+4+3|m2+1,解得m=-6或m=12,故选AD.3.答案 2+2解析 依题意得,点(1,1)到直线的距离d=|cosθ+sinθ-2|cos2θ+sin2θ=|cosθ+sinθ-2|=2sinθ+π4-2.当sinθ+π4=-1时,dmax=|-2-2|=2+2.4.A 由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即|-6|2=32.5.解析 能.设存在满足条件的点P(x0,y0).若点P满足条件(2),则有|2x0-y0+3|22+(-1)2=12·|-4x0+2y0+1|(-4)2+22,化简得2x0-y0+132=0或2x0-y0+116=0.若P点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有|2x0-y0+3|22+(-1)2=25·|x0+y0-1|12+12,9,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,故舍去.由2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0得x0=-3,y0=12,不合题意,故舍去.由2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0得x0=19,y0=3718.∴P19,3718为同时满足题中三个条件的点.6.B 如图,由平行线间的距离公式得|PQ|=322.过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.设点A'(x0,y0),则x0=-3+322×22=-32,y0=-3+322×22=-32.因此,点A'-32,-32,则|A'B|=13.连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=13.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥322+13.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为322+13.7.CD 因为直线l的一个方向向量为u=-36,12,所以直线l的斜率k=12-36=-3,设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°),则tanα=-3,所以α=120°,所以A错误;因为l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-3(x-1),令y=0,则x=-233+1,所以l在x轴上的截距为-233+1,所以B错误;9,直线3x-3y+2=0的斜率为33,直线l的斜率为-3,因为-3×33=-1,所以l与直线3x-3y+2=0垂直,所以C正确;原点到直线l的距离d=|2-3|12+(3)2=2-32>18,所以l上不存在与原点距离等于18的点,所以D正确,故选CD.8.解析 (1)证明:直线方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,整理得(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0,因为对任意m等式恒成立,所以-x+2y+3=0,2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,所以直线恒过定点P(-1,-2).(2)由题意得,点Q与定点P(-1,-2)的距离就是点Q到直线距离的最大值,即(-1-3)2+(-2-4)2=213.因为kPQ=4-(-2)3-(-1)=32,所以(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0的斜率为-23,可得-23=-2-m2m+1,解得m=47.综上,当m=47时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为213.(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,直线方程为y+2=k(x+1),k<0,则A2k-1,0,B(0,k-2),所以S△AOB=122k-1|k-2|=12-2k+1(-k+2)=2+2-k+-k2≥2+22-k·-k2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以△AOB的面积的最小值为4,此时直线的方程为2x+y+4=0.9
