五种策略搞定所有填空题[题型解读] 填空题是高考两大题型之一，主要考查基础知识、基本方法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、习题的改编或综合，体现了对通性通法的考查．该题型的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系，高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等．近几年出现了定性型的具有多重选择的填空题．方法一 直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1 已知直线x＝a(0<a<)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN中点的纵坐标为________．答案 解析 由题意，知M(a，sina)，N(a，cosa)，则MN的中点为P(a，(sina＋cosα))．而|MN|＝|sina－cosa|＝.①设sina＋cosa＝t，②①②两式分别平方，相加，得2＝＋t2，解得t＝±.又0<a<，所以t＝sina＋cosa>0，故t取.所以线段MN中点的纵坐标为×＝.故填.拓展训练1 已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值为________．答案 －1解析 由题意知f′(x)＝(n＋1)xn，设点P处切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.设an＝log2014xn＝log201410\n＝log2014n－log2014(n＋1)，则a1＋a2＋…＋a2013＝(log20141－log20142)＋(log20142－log20143)＋…＋(log20142022－log20142014)＝－log20142014＝－1.故填－1.方法二 特殊值法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．例2 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若＝λ，＝μ，则＋＝________.答案 2解析 由题意可知，＋的值与点P、Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，则有λ＝μ＝1，所以＋＝2.拓展训练2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.答案 解析 令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝，cosC＝0，代入所求式子，得＝＝，故填.方法三 排除法填空题中的排除法主要用于多选题，判断正确命题的标号类的题目，解决办法是根据条件和相关的知识来逐个验证排除，从而确定出正确的命题或说法．例3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，10\n因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，则f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2，f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．拓展训练3 在实数集R中，定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，在平面向量集D＝{a|a＝(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意的两个向量a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，当且仅当“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”时，a1>a2成立．按上述定义的关系“>”，给出下列四个命题：①若e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，则e1>e2>0；②若a1>a2，a2>a3，则a1>a3；③若a1>a2，则对于任意a∈D，a1＋a>a2＋a；④对于任意向量a>0，0＝(0,0)，若a1>a2，则a·a1>a·a2.其中是真命题的有________．(写出所有真命题的编号)答案 ①②③解析 对于①，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，因为横坐标1>0，由定义可知e1>e2，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，由横坐标0＝0且纵坐标1>0可知e2>0，所以e1>e2>0，故①正确；对于②，a1>a2当且仅当“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”，a2>a3当且仅当“x2>x3”或“x2＝x3且y2>y3”，可得“x1>x3”或“x1＝x3且y1>y3”，故可得a1>a3，故②正确；对于③，设a＝(x，y)，则a1＋a＝(x1＋x，y1＋y)，a2＋a＝(x2＋x，y2＋y)，又a1>a2时，“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”，所以有“x1＋x>x2＋x”或“x1＋x＝x2＋x且y1＋y>y2＋y”，即a1＋a>a2＋a，故③正确；对于④，举反例，设a＝(0,1)，满足a>0，若a1＝(2,0)，a2＝(1,0)，a1>a2，但a·a1＝0×2＋1×0＝0，a·a2＝0×1＋1×0＝0，此时，a·a1＝a·a2，故④错误．方法四 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn图、三角函数线、函数图象，以及方程的曲线等都是常用的图形．例4 在△ABC中，∠B＝，O为△ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．答案 [1,2]解析 如图，建立直角坐标系，设圆O的半径为1，10\n∵∠B＝，∴A(－，－)，C(，－)．设P(cosθ，sinθ)，则θ∈[，]，∵sinθ＝－，∴x＋y＝－2sinθ∈[1,2]．拓展训练4 若不等式>(a－1)x的解集为A，且A⊆{x|0<x<2}，则实数a的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 在同一坐标系中作出函数y＝和函数y＝(a－1)x的图象(如图)，由图可知斜率a－1≥1，即a≥2.所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．方法五 估算法当题目中的条件有时不能很好地进行转化，或者条件中涉及的量在变化时，我们不方便很好地定量计算，这时往往采用估算法来解决．例5 已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (，1)解析 当P点在G点位置时，λ＝μ＝，所以λ＋μ＝，当P点位于B点位置时λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1，当P点位于C点位置时，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1，综上，λ＋μ范围为(，1)．拓展训练5 不等式>1－lgx的解集为________．答案 (1，＋∞)解析 先求x的取值范围得x≥，若x>1则>1,1－lgx<1不等式成立．若≤x≤1，10\n则≤1－lgx，原不等式不成立．故正确答案为x>1.1．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝60°，2b2＝3ac，则角A的大小为________．答案 或解析 由2b2＝3ac及正弦定理可知，2sin2B＝3sinAsinC，故sinAsinC＝，cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－，即cosAcosC－＝－，cosAcosC＝0，故cosA＝0或cosC＝0，可知A＝或.2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.答案 18解析 方法一 ∵·＝·(＋)＝·＋·＝·＋·(＋)＝·＋2·，∵AP⊥BD，∴·＝0.又∵·＝||||cos∠BAP＝||2，∴·＝2||2＝2×9＝18.方法二 把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.3．已知x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．答案 10\n解析 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点B时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大．由解得即B(，)，代入z＝x＋y得z＝＋＝.4．在△ABC中，∠A＝60°，M是AB的中点，若AB＝2，BC＝2，D在线段AC上运动，则·的最小值为________．答案 解析 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝b2＋4－2b，即b2－2b－8＝0，解得b＝4.设＝λ(0≤λ≤1)，则·＝(－)·(－)＝(－λ)·(－λ)＝λ2||2－λ·＋||2＝16λ2－6λ＋2，当λ＝时，16λ2－6λ＋2最小，最小值为.5．定义：min{a1，a2，a3，…，an}表示a1，a2，a3，…，an中的最小值．已知f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，且对于任意的n∈N*，均有f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)成立，则常数k的取值范围是________．答案 [－，0]解析 ∵f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，∴f(1)＝－2，f(2)＝－1，∴f(1)＋f(2)≤kf(1)，即－3≤－2k，解得k≤；同理，f(3)＝2，f(4)＝1，10\n∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)≤kf(2)，即－2－1＋2＋1≤k×(－1)，解得k≤0.由以上可知k为非正数．当n≥3时，{f(n)}是以2为首项，－1为公差的等差数列，f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)，即－2－1＋×(2n－2)≤k(5－n)，2n2－9n＋10≥k(n－5)，又2n2－9n＋10≥2×32－9×3＋10＝1，k(n－5)≤k(3－5)＝－2k，∴k≥－.综上所述，常数k的取值范围是[－，0]．6．(2022·无锡模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.答案 解析 如图，设|BF|＝m，由题知，m2＋100－2×10mcos∠ABF＝36，解得m＝8，所以△ABF为直角三角形，所以|OF|＝5，即c＝5，由椭圆的对称性知|BF|＝|AF′|＝8，(F′为右焦点)所以a＝7，所以离心率e＝.7．已知f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)>0或g(x)>0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则实数m的取值范围是________．答案 (0,8)解析 当f(x)，g(x)满足条件①时，m≤0显然不合题意；当m>0时，f(0)＝1>0，若对称轴x＝≥0，即0<m≤4，结论显然成立，10\n若对称轴x＝<0，即m>4，只要方程2mx2－2(4－m)x＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，又m>4，可得4<m<8，所以m∈(0,8)．当f(x)，g(x)满足条件②时，对于m∈(0,8)，x∈(－∞，－4)，g(x)<0恒成立，由①可知，必存在x0∈(－∞，－4)，使得f(x0)>0成立，故可得m∈(0,8)．8．已知函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．若f(6－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．答案 －3<a<2解析 ∵f′(x)＝当x≤e时，f′(x)＝6－2x＝2(3－x)>0，当x>e时，f′(x)＝1－＝>0，∴f(x)在R上单调递增．又f(6－a2)>f(a)，∴6－a2>a，解之得－3<a<2.9．已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为________．答案 [－1，＋∞)解析 函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，从而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．10．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量＝x＋y，则0≤x≤，0≤y≤的概率是________．答案 解析 由平面向量基本定理及点P为ABCD内部或边界上任意一点，可知0≤x≤1且0≤y≤1，又满足条件的x，y满足0≤x≤，0≤y≤，所以P(A)＝＝.11．(2022·辽宁)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.答案 63解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥10\n底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM⊥PC解析 易得BD⊥PC.∴当DM⊥PC，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．答案 －＝1解析 由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.∵抛物线y2＝16x的焦点F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，∴a2＝4，b2＝12，∴所求双曲线的方程为－＝1.14.，，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________．答案 <<解析 由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.15．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝|logx|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 3解析 如图，f(1)＝0，f＝f(4)＝2，(b－a)max＝4－＝，(b－a)min＝1－＝，则－＝3.10\n10
