阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·辽宁五校联考)已知cos(＋α)＝，且α∈(，)，则tanα＝( )A． B．C．－ D．±[答案] B[解析] 因为cos(＋α)＝，所以sinα＝－，显然α在第三象限，所以cosα＝－，故tanα＝.2．(2022·襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为( )A． B．C． D．[答案] B[解析] ∵sin＝，cos＝－，∴角x的终边经过点(，－)，tanx＝－，∴x＝2kπ＋，k∈Z.∴角x的最小正值为.3．(文)已知tan＝2，则的值为( )A． B．7C．－ D．－7[答案] A[解析] 由已知得tanα＝＝－，-12-\n故＝＝.(理)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x),f′(x)是f(x)的导函数，则sin2x＝( )A． B．－C． D．－[答案] C[解析] 由f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)得cosx＋sinx＝2sinx－2cosx，所以tanx＝3，sin2x＝＝＝＝，故选C．4．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x＝对称的是( )A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(＋)[答案] B[解析] ∵T＝π，∴ω＝2，排除D，把x＝代入A、B、C只有B中y取得最值，故选B．5．(文)(2022·黄山模拟)为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，只需把函数y＝sin(2x＋)的图像( )A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位[答案] B[解析] y＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]，∴只需将y＝sin(2x＋)向右平移＋＝个长度单位．(理)(2022·黄山模拟)将函数y＝sin2x的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为( )A．y＝sin(2x－)＋1 B．y＝2cos2x-12-\nC．y＝2sin2x D．y＝－cos2x[答案] C[解析] 函数y＝sin2x的图像向右平移个单位得到y＝sin2(x－)＝sin(2x－)＝－cos2x，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为y＝－cos2x＋1＝－(1－2sin2x)＋1＝2sin2x，选C．6.－＝( )A．4 B．2C．－2 D．－4[答案] D[解析] －＝－＝＝＝＝＝－4，选D．7．(2022·合肥调研)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形[答案] D[解析] sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，所以sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，所以A＋B＝，故三角形为直角三角形．8．(2022·河南八校联考)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值是( )A． B．C． D．[答案] D[解析] y＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，向左平移m个单位得到y＝2sin(x＋m＋)，此函数为奇函数，∴m＋＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为.9．(2022·济南一模)△ABC中，∠A＝30°，AB＝，BC＝1，则△ABC的面积等于( )A． B．-12-\nC．或 D．或[答案] D[解析] 由余弦定理cosA＝，代入各值整理可得AC2－3AC＋2＝0，解得AC＝1或AC＝2三角形面积S＝AB·AC·sinA所以面积为或.10．(2022·洛阳统考)设函数f(x)＝|cosx|＋|sinx|，下列四个结论正确的是( )①f(x)是奇函数；②f(x)的图像关于直线x＝对称；③当x∈[0,2π]时，f(x)∈[1，]；④当x∈[0，]时，f(x)单调递增．A．①③ B．②④C．③④ D．②③[答案] D[解析] 对于①，注意到f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数，①不正确；对于②，注意到f(－x)＝|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)的图像关于直线x＝对称，②正确；对于③④，注意到f(x＋)＝|cos(x＋)|＋|sin(x＋)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)是以为周期的函数，当x∈[0，]时，f(x)＝|sinx|＋|cosx|＝sinx＋cosx＝sin(x＋)的值域是[1，]，故当x∈[0,2π]时，f(x)∈[1，]，又f()＝>1＝f()，因此f(x)在[0，]上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③，选D．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.[答案] 0[解析] 原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα，因为α是第二象限，所以sinα>0，cosα<0，所以cosx＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0.12．(2022·新课标Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．[答案] 1[解析] 本题考查两角和正弦公式、二倍角公式，三角函数的最值的求法．-12-\n∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ＝sinx≤1.∴最大值为1.13．(2022·九江模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋)，其中x∈[－，α]．当α＝时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－，1]，则α的取值范围是________．[答案] [－，1] [，][解析] 若－≤x≤，则－≤2x≤，－≤2x＋≤，此时－≤sin(2x＋)≤1，即f(x)的值域是[－，1]．若－≤x≤α，则－≤2x≤2α，－≤2x＋≤2α＋.因为当2x＋＝－或2x＋＝时，sin(2x＋)＝－，所以要使f(x)的值域是[－，1]，则有≤2α＋≤，即≤2α≤π，所以≤α≤，即α的取值范围是[，]．14．△ABC中，A满足条件sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝2cm，则A＝________，△ABC的面积等于________cm2.[答案] [解析] 由sinA＋cosA＝1得2sin(A＋)＝1，∴A＋＝，即A＝π，由＝得sinC＝＝＝，所以C＝，则B＝.S△ABC＝AB×BCsinB＝(cm2)．15．把函数y＝sin2x的图像沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)图像，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：-12-\n①该函数的解析式为y＝2sin(2x＋)；②该函数图像关于点(，0)对称；③该函数在[0，]上是增函数；④函数y＝f(x)＋a在[0，]上的最小值为，则a＝2.其中，正确判断的序号是________．[答案] ②④[解析] 将函数向左平移得到y＝sin2(x＋)＝sin(2x＋)，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin(2x＋)，即y＝f(x)＝2sin(2x＋)，所以①不正确．y＝f()＝2sin(2×＋)＝2sinπ＝0，所以函数图像关于点(，0)对称，所以②正确．由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z,即函数的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，增区间为[－，]，所以③不正确.y＝f(x)＋a＝2sin(2x＋)＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以当2x＋＝时，函数值最小为y＝2sin＋a＝－＋a＝，所以a＝2，所以④正确．所以正确的命题为②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(文)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．[解析] (1)原式＝＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝，故＋＝.(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，得1＋m＝()2，即m＝.(3)由得或-12-\n又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.(理)已知函数f(x)＝－cos2x－sinx＋1.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若f(α)＝，求cos2α的值．[解析] (1)因为f(x)＝－cos2x－sinx＋1＝sin2x－sinx＝(sinx－)2－，又sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝时，函数f(x)的最小值为－.(2)由(1)得(sinα－)2－＝，所以(sinα－)2＝.于是sinθ＝(舍)或sinα＝－.故cos2α＝1－2sin2α＝1－2(－)2＝.17．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋cos2x－2.(1)求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．[解析] (1)依题意f(x)＝2sin2x＋sin2x－1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．则f()＝sin(2×－)＝1.(2)f(x)的最小正周期T＝＝π.当2kπ－≤2x－≤2kπ＋时，即kπ－≤x≤kπ＋时，f(x)为增函数．则函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(理)已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(sinx,2sinx)，函数f(x)＝a·B．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若不等式f(x)≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．[解析] (1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋2sinxcosx-12-\n＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin(2x－)≤1，∴f(x)＝2sin(2x－)＋1∈[0,3]，∴m≤0，m的最大值为0.18．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[解析] (1)由已知，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bC．由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.(2)由a2＝b2＋c2＋bc，得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC．又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C．所以△ABC是等腰的钝角三角形．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．(1)求函数f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角θ满足cosθ＝，求f(4θ)的值．[解析] (1)∵由题意可得A＝2，＝2π，即T＝4π，-12-\n∴＝4π，∴ω＝.∴f(x)＝2sin(x＋φ)．由图像经过点(0,1)得，f(0)＝2sinφ＝1，又|φ|<，∴φ＝.故f(x)＝2sin(x＋)．又f(x0)＝2sin(x0＋)＝2，∴x0＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴x0＝4kπ＋(k∈Z)，根据图像可得x0是最小的正数，∴x0＝.(2)由(1)知，f(4θ)＝2sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ.∵θ∈(0，)，cosθ＝，∴sinθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，∴f(4θ)＝×－＝－＝.20．(本小题满分13分)(文)(2022·重庆高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；(2)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．[解析] (1)∵a＋b＋c＝8，a＝2，b＝，∴c＝8－2－＝.由余弦定理，得cosC＝＝＝－.(2)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，可得-12-\nsinA·＋sinB·＝2sinC，化简得：sinA＋sinB＋sin(A＋B)＝4sinC，即sinA＋sinB＝3sinC，由正弦定理可得a＋b＝3C．又a＋b＋c＝8，∴a＋b＝6 ①又面积S＝absinC＝sinC，∴ab＝9 ②解①②得a＝3，b＝3.(理)(2022·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝，求△ABC的面积．[解析] (1)由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．(1＋cos2A)－(1＋cos2B)＝sin2A－sin2B，∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，即sin(－＋2A)＝sin(－＋2B)，∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝由正弦定理得：＝，又∵c＝，sinA＝.∴a＝.∴S△ABC＝acsinB＝.21．(本小题满分14分)(文)已知函数g(x)＝－sinxcosx－sin2x，将其图像向左移个单位，并向上移个单位，得到函数f(x)＝acos2(x＋φ)＋b(a>0，b∈R，|φ|≤)的图像．(1)求实数a，b，φ的值；-12-\n(2)设函数φ(x)＝g(x)－f(x)，x∈[0，]，求函数φ(x)的单调递增区间和最值．[解析] (1)依题意化简得g(x)＝sin(－2x)，平移g(x)得f(x)＝sin(－2(x＋))＋＝sin(－2x－)＋＝cos(2x＋)＋＝cos2(x＋)∴a＝1，b＝0，φ＝.(2)φ(x)＝g(x)－f(x)＝sin(2x＋)－cos(2x＋)－＝sin(2x＋)－，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ，(k∈Z)，因为x∈[0，]，所以当k＝0时，在[0，]上单调增，∴φ(x)的单调增区间为[0，]，值域为[－，1－]，故φ(x)的最小值为－，最大值为1－.(理)已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋)－.(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)若△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f(B)的最大值．[解析] (1)f(x)＝2cosx·sin(x＋)－＝2cosx(sinxcos＋cosxsin)－＝2cosx(sinx＋cosx)－＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋·－＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．-12-\n∴T＝＝＝π.(2)由余弦定理cosB＝及b2＝ac得，cosB＝＝－≥－＝，∴≤cosB<1，而0<B<π，∴0<B≤.函数f(B)＝sin(2B＋)，∵<2B＋≤π，∴当2B＋＝，即B＝时，f(B)max＝1.-12-
