【高考调研】2022高中数学1-4生活中的优化问题举例课后巩固新人教A版选修2-21．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A. B.C.D．2答案 C解析 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋(x＞0)，S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得唯一极值点x＝.2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A．6B．8C．10D．12答案 B3．用长度为l的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为( )A.B.C.D.答案 D解析 设长方形一边为x，则另一边为.S＝x·＝－x2＋x.S′＝－2x＋.令S′＝0，得x＝.∴S最大＝－()2＋·＝.4．设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R，其中a∈R)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≠0求函数f(x)的极大值和极小值；(3)当a＞3时，证明存在k∈[－1,0]，使得不等式f(k－cosx)≥f(k2－cos2x)对任意的x∈R恒成立．3\n解析 (1)当a＝1时，f(x)＝－x(x－1)2＝－x3＋2x2－x，得f(2)＝－2，f′(x)＝－3x2＋4x－1，f′(2)＝－12＋8－1＝－5，∴当a＝1时，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为5x＋y－8＝0.(2)f(x)＝－x(x－a)2＝－x3＋2ax2－a2x，f′(x)＝－3x2＋4ax－a2＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝a.由于a≠0，以下分两种情况讨论．①若a＞0，当x变化时，f′(x)的正负如下表：x(－∞，)(，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋0－因此，函数f(x)在x＝处取得极小值f()，且f()＝－a3.函数f(x)在x＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝0.②若a＜0，当x变化时，f′(x)正负如下表：x(－∞，a)a(a，)(，＋∞)f′(x)－0＋0－因此函数f(x)在x＝a处取得极小值f(a)，且f(a)＝0；函数f(x)在x＝处取得极大值f()，且f()＝－a3.(3)证明：由a>3，得到＞1，当k∈[－1,0]时，k－cosx≤1，k2－cosx≤1.由(2)知f(x)在(－∞，1]上是减函数，要使f(k－cosx)≥f(k2－cos2x)(x∈R)，只要k－cosx≤k2－cos2x(x∈R)．即cos2x－cosx≤k2－k(x∈R)．○*设g(x)＝cos2x－cosx＝(cosx－)2－，则函数g(x)在R上的最大值为2.要使○*式恒成立必须k2－k≥2，即k≥2或k≤－1.所以，在区间[－1,0]上存在k＝－1，使得f(k－cosx)≥f(k2－cos2x)对任意的x∈R恒成立．3\n5．设A、B两地相距30千米，如下图所示在它们之间铺设一条铁道，由于地质条件不同，在y>0地区铺设费用为105元/千米，而在y≤0地区铺设费用为6×104元/千米，求最经济的铺设线路．解析 设∠ADx＝θ，由图形的对称性可知，研究y轴的一侧即可．由点A向x轴作垂线，设垂足为C，则CD＝5cotθ，AD＝.∴DO＝15－DC＝15－5cotθ.设铺设铁道的费用为P，则P＝(15－5cotθ)×6×104＋×105.P′＝3×105·－5×105.令P′＝0，得＝.∴cosθ＝，此时sinθ＝，cotθ＝.∴OD＝.在x轴上取点D(，0)，E(－，0)，则AD→DE→EB为最佳经济铺设线路．3
