课时作业(十一)1．在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是( )A．－10 B．10C．－5D．5答案 B解析 展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－r·(－)r＝(－1)r·C·x10－3r，令10－3r＝4，∴r＝2，则x4的系数是(－1)2·C＝10.故选B.2．(2x3－)10的展开式中的常数项是( )A．210B.C.D．－105答案 B3．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是( )A．840B．－840C．210D．－210答案 A解析 T4＋1＝Cx6(－y)4＝C×4x6y4＝840x6y4.4．二项式(＋)24展开式中的整数项是( )A．第15项B．第14项C．第13项D．第12项答案 A解析 (＋)24展开式的通项为C()24－r·()r.要使其为整数，应使与都是整数，观察易知r＝14时＝2，＝2皆为整数，因此所求为第r＋1项，即第15项．5．把(i－x)10(i是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )A．135B．－135C．－360iD．360i答案 D5\n解析 ∵T7＋1＝C(i)3(－x)7＝－C3i3x7＝C3ix7，所以展开式的第8项的系数为3·Ci，即360i.6．在(x＋1)(2x＋1)·…·(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为( )A．C B．CC．CD.C答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n＝＝C.7．(2022·陕西理)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )A．－20B．－15C．15D．20答案 C解析 Tr＋1＝C(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rC(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4C＝15.8．(2022·安徽)若(x＋)8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.答案 解析 由二项式(x＋)8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3.故Ca3＝7，∴a＝.9．(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．答案 －240解析 (x－y)10展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－r(－y)r＝(－1)rCx10－ryr，∴x7y3的系数为－C，x3y7的系数为－C.∴所求的系数和为－(C＋C)＝－2C＝－240.10．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3的值为________．答案 x4解析 原式为(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝[(x－1)＋1]4＝x4.11．(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中，x25\n的系数等于________．答案 －20解析 方法一 所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的x2的系数就应该是这五个二项式的展开式中x2的系数的代数和，即－C－C－C－C＝－20.方法二 也可以利用等比数列求和公式，将原式化为＝.可以看出，所求的x2的系数就是(x－1)6中x3的系数，即为－C＝－20.12．在(x－a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a＝________.答案 －13．(＋)50的二项展开式中，整数项共有________项．答案 4解析 Tk＋1＝C()50－k·()k＝C·2.由0≤k≤50，且k∈N可知，当k＝2,8,14,20时，取整数，即展开式中有4项是整数项．14．求(x＋－1)5展开式中的常数项．解析 方法一 (x＋－1)5＝(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)．按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5；若从五个因式中选定一因式取x，一因式取，另三个因式中取(－1)，为CC(－1)3；若从五个因式某两因式中取x，另两因式中取，余下一个因式中取－1，所得式为CC(－1)，所以常数项为(－1)5＋CC(－1)3＋CC(－1)＝－51.方法二 由于本题只有5次方，也可以直接展开，即[(x＋)－1]5＝(x＋)5－5(x＋)4＋10(x＋)3－10(x＋)2＋5(x＋)－1.由x＋的对称性知，只有在x＋的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，∴常数项为－5C－10C－1＝－51.5\n方法三 ∵(x＋－1)5＝[(x＋)－1]5，∴通项为Tr＋1＝C(x＋)5－r·(－1)r(0≤r≤5)．当r＝5时，T6＝C(－1)5＝－1；当0≤r<5时，(x＋)5－r的通项为T′k＋1＝Cx5－r－k·()k＝Cx5－r－2k(0≤k≤5－r)．∵0≤r<5，且r∈Z，∴r只能取1或3相应的k值分别为2或1.∴常数项为CC(－1)＋CC(－1)3＋(－1)＝－51.►重点班选做题15．(2022·全国卷Ⅰ)(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )A．－6B．－3C．0D．3答案 A解析 由于(1－x)4的通项为Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，(1－)3的通项为Tk＋1＝(－1)kC，所以乘积中的x2项的系数为(1－x)4中的x2项的系数和x的系数分别乘(1－x)3中的常数项和x的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6.16．(2022·新课标全国理)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A．－40B．－20C．20D．40答案 D解析 对于(x＋)(2x－)5，可令x＝1得1＋a＝2，故a＝1.(2x－)5的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝C25－r×(－1)r×x5－2r，要得到展开式的常数项，则x＋的x与(2x－)5展开式的相乘，x＋的与(2x－)5展开式的x相乘，故令5－2r＝－1，得r＝3.令5－2r＝1，得r＝2，从而可得常数项为C×22×(－1)3＋C×23×(－1)2＝40.5\n17．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋)＝________.答案 －解析 由二项式定理，得x3的系数为Ccos2φ＝2，得cos2φ＝，故sin(2φ＋)＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.18．(2022·浙江理)设二项式(x－)6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．答案 2解析 5
