8＋6分项练1 集合与常用逻辑用语1．(2022·烟台适应性考试)集合A＝{x∈N|log2x≤1}，集合B＝{x∈Z|x2≤5}，则A∩B等于( )A．{2}B．{1,2}C．{0,1,2}D．∅答案 B解析 由题意得A＝{x∈N|0<x≤2}＝{1,2}，B＝{x∈Z|－≤x≤}＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．2．(2022·湛江模拟)设θ∈R，则“<”是“sinθ<”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 求解绝对值不等式<，可得0<θ<，若sinθ<，则2kπ－<θ<2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，－<θ<，据此可得“<”是“sinθ<”的充分不必要条件．3．已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝，则A∩B等于( )A．[－1,2]B．(0,2]C．[1,2]D．[1，e]答案 B解析 求解函数y＝的定义域可得A＝，求解对数不等式lnx<1，可得B＝，结合交集的定义可得A∩B＝，6\n表示为区间形式即(0,2]．4．下列命题中，假命题是( )A．∀x∈R，ex>0B．∃x0∈R,>xC．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件答案 C解析 对于A，根据指数函数y＝ex的性质可知，ex>0总成立，故A正确；对于B，取x0＝1，则21>12，故B正确；对于C，若a＝b＝0，则无意义，故C错误，为假命题；对于D，根据不等式的性质可得当a>1，b>1时，必有ab>1，但反之不成立，故D正确．5．集合A＝{x|2x2－3x≤0，x∈Z}，B＝{x|1≤2x<32，x∈Z}，集合C满足A⊆C⊆B，则集合C的个数为( )A．3B．4C．7D．8答案 D解析 由题意可得A＝{0,1}，B＝{0,1,2,3,4}，集合C＝A∪M，其中M为集合{2,3,4}的子集，由子集个数公式可得，C的个数为23＝8.故选D.6．(2022·山西省榆社中学模拟)设集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{x|x≥a}，现有下面四个命题：p1：∃a∈R，A∩B＝∅；p2：若a＝0，则A∪B＝(－7，＋∞)；p3：若∁RB＝(－∞，2)，则a∈A；p4：若a≤－1，则A⊆B.其中所有的真命题为( )A．p1，p4B．p1，p3，p4C．p2，p3D．p1，p2，p4答案 B6\n解析 由题意可得A＝，则当a≥7时，A∩B＝∅，所以命题p1正确；当a＝0时，B＝[0，＋∞)，则A∪B＝(－1，＋∞)，所以命题p2错误；若∁RB＝，则a＝2∈A，所以命题p3正确；当a≤－1时，A⊆B成立，所以命题p4正确．7．(2022·衡水金卷调研卷)已知a>0，命题p：函数f(x)＝lg的值域为R，命题q：函数g(x)＝x＋在区间(1，＋∞)内单调递增．若(綈p)∧q是真命题，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0]B.C.D.答案 D解析 由题意，函数f(x)＝lg的值域为R，a>0，故Δ＝4－12a≥0，解得a≤，故0<a≤，即p：0<a≤；若a>0，g(x)＝x＋在区间(1，＋∞)内单调递增，即g′(x)＝1－≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，即a≤x2在区间(1，＋∞)内恒成立，解得0<a≤1，因为(綈p)∧q是真命题，所以p为假命题，q为真命题，即得<a≤1，故选D.8．(2022·河北衡水中学模拟)下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“∃x0∈R，使得2x－1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2－1<0”D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题答案 B解析 “若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，A错误；“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，B正确；“∃x0∈R，使得2x－1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2－1≥0”，C错误；“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，D错误，故选B.6\n9．(2022·三明质检)已知集合A＝，B＝，A∩B＝________.答案 (2,3)解析 由B中不等式变形得(x＋4)(x－2)>0，解得x<－4或x>2，即B＝{x|x<－4或x>2}，则A∩B＝(2,3)．10．(2022·辽宁省辽南协作校模拟)已知D＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，给出下列四个命题：p1：∃(x0，y0)∈D，x0＋y0≥0；p2：∀(x，y)∈D，x－y＋1≤0；p3：∀(x，y)∈D，≤；p4：∃(x0，y0)∈D，x＋y≥2；其中真命题是________．答案 p1，p3解析 不等式组|x|＋|y|≤1的可行域如图阴影部分(含边界)所示．对于p1，A(1,0)点，1＋0＝1≥0，故∃(x0，y0)∈D，x0＋y0≥0为真命题；对于p2，A(1,0)点，1－0＋1＝2>0，故p2为假命题；对于p3，表示的意义为点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率，由图可得的取值范围为，故p3为真命题；对于p4，x2＋y2表示的意义为点(x，y)到原点的距离的平方，由图可得x2＋y2≤1，故p4为假命题．11．若命题“∀x∈(0，＋∞)，x＋≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 即“∃x0∈(0，＋∞)，x0＋<m”为真命题，所以m>min＝2，当且仅当x＝1时，x＋取得最小值2.∴m的取值范围是(2，＋∞)．6\n12．(2022·湖北省咸宁市高三重点高中联考)若“1<x<3”是“lga＋lgx<lg”的充分不必要条件，则正数a的取值范围是________．答案 解析 由题意知(1,3)是lga＋lgx<lg的真子集，则即x<a.①当2a－1＝0时，a＝，符合题意；②当2a－1<0时，0<a<，符合题意；③当2a－1>0时，a>，0<x<.由得<a≤，综上所述，正数a的取值范围是.13．(2022·上海普陀区调研)设集合M＝，N＝，若N⊆M，则实数m的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 ∵M＝＝(0，＋∞)，N⊆M，∴y＝(x－1)＋(x－2)在[1,2]上恒为正，设f(x)＝(x－1)＋(x－2)，则即得即－1<m<0，实数m的取值范围是(－1,0)．14．已知M是集合(k∈N*，k≥2)的非空子集，且当x∈M时，有2k－x∈M.记满足条件的集合M的个数为f(k)，则f(2)＝________；f(k)＝________.答案 3 2k－1解析 将1,2，…，2k－1分为k组，1和2k－1,2和2k－2，……，k－1和k＋1，k单独一组，每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M，每组属于或不属于M，共两种情况，所以M的可能性有2k，排除一个空集，6\n则可能性为2k－1，即f(k)＝2k－1，f(2)＝3，故f(2)＝3，f(k)＝2k－1.6
