【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题22随机变量及其分布列理（含解析）一、解答题1．(2022·安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．[分析] ①甲在四局内赢得比赛，即甲前两局胜，或第一局败，二、三局胜，或第一局胜，第二局败，第三、四局胜．②比赛总局数最少2局，最多5局，求概率时，既要考虑甲胜结束，又要考虑乙胜结束．③由于各局比赛结果相互独立，故按独立事件公式计算积事件的概率．[解析] 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝()2＋×()2＋××()2＝.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，13\nP(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.故X的分布列为X2345PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.[方法点拨] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；2°理清各事件之间的关系，列出关系式；3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算．4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解．5．离散型随机变量的分布列的性质：设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.2．(2022·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．[分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型．(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望．[解析] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.13\n(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝综上知，X的分布列为：X012P故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)[方法点拨] 如果题目条件是从含A类物品M件，总数为N的A、B两类物品中，抽取n件，其中含有A类物品件数X为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．请练习下题：一盒中有12个零件，其中有3个次品，从盒中每一次取出一个零件，取后不放回，求在取到正品前已取次数X的分布列和期望．[分析] 由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的事件的准确含义．据此正确地计算概率p.[解析] X可能的取值为0、1、2、3这四个数，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3.(1)当X＝0时，第1次取到正品，试验中止，此时P(X＝0)＝＝.(2)当X＝1时，第1次取到次品，第2次取到正品，P(X＝1)＝×＝.(3)当X＝2时，前2次取到次品，第3次取到正品，P(X＝2)＝××＝.当X＝3时，前3次将次品全部取出，P(X＝3)＝××＝.所以X的分布列为：X012313\nPE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3．(2022·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款(单位：元)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200，＋∞)顾客人数m2030n10统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．[解析] (1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%，n＝20；m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×＝3000件．(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p＝＝.故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，)．P(ξ＝0)＝C()0()4＝，P(ξ＝1)＝C()1()3＝，P(ξ＝2)＝C()2()2＝，P(ξ＝3)＝C()3()1＝，P(ξ＝4)＝C()4()0＝，ξ的分布列为ξ0123413\nPξ数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.或由E(ξ)＝4×＝.[方法点拨] 1.独立重复试验与二项分布一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．称事件A发生的次数X服从参数为n、p的二项分布．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．离散型随机变量的期望：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.3．准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同)，牢记公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义，是解二项分布问题的关键．4．对于复杂事件，要先辨析其构成，依据互斥事件，或者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解，还要注意含“至多”，“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解．请练习下题：为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；13\n(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．[分析] 先由频率直方图中前三组频率的比及第2小组频数及频率分布直方图的性质求出n的值和任取一个报考学生体重超过60kg的概率．再由从报考飞行员的学生中任选3人知，这是三次独立重复试验，故X服从二项分布．[解析] (1)设报考飞行员的人数为n，前3个小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得：解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375.又因为p2＝0.25＝，故n＝48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg的概率为P＝p3＋(0.037＋0.013)×5＝，由题意知X服从二项分布B(3，)，P(x＝k)＝C()k()3－k(k＝0,1,2,3)，所以随机变量X的分布列为X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4．(2022·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表销售量X个X<100100≤X<150150≤X<200X≥200奖励金额(元)050100150(1)求在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率；(2)记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．[解析]13\n (1)由频率分布直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3,0.2,0.1，不得奖励的概率是0.4，所以未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率P＝0.33＋A×0.3×0.2×0.4＋C×0.42×0.1＝0.219；(2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300.P(X＝0)＝0.42＝0.16，P(X＝50)＝2×0.4×0.3＝0.24.P(X＝100)＝0.32＋2×0.4×0.2＝0.25，P(X＝150)＝2×0.4×0.1＋2×0.3×0.2＝0.20.P(X＝200)＝0.22＋2×0.3×0.1＝0.10，P(X＝250)＝2×0.2×0.1＝0.04，P(X＝300)＝0.12＝0.01，所以随机变量X的分布列是：X050100150200250300P(X)0.160.240.250.200.100.040.01E(X)＝0×0.16＋50×0.24＋100×0.25＋150×0.20＋200×0.10＋250×0.04＋300×0.01＝100(或E(X)＝2(0×0.4＋50×0.3＋100×0.2＋150×0.1)＝100)[方法点拨] 概率与统计知识相结合是高考主要命题方式之一．一般先解答统计问题，最后依据条件确定随机变量的取值及其概率，再列出分布列求期望．请练习下题：(2022·江西上饶市三模)对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社会实践的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10,15)200.25[15,20)48n[20,25)mp[25,30)40.05合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)在所取样本中，从参加社会实践的次数不少于20次的学生中任选3人，记参加社会实践次数在区间[25,30)内的人数为X，求X的分布列和期望．13\n[解析] (1)由频率分布表和频率分布直方图的知识与性质知，＝0.25，＝n,0.25＋n＋p＋0.05＝1，＝a，解之可得M＝80，p＝0.1，a＝0.12.(2)参加社会实践次数分别在[20,25]和[25,30)的人数依次为0.1×80＝8人，0.05×80＝4人，从这12人中随机抽取3人，随机变量X的取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.分布列如下：X0123P可得E(X)＝1.5．(2022·河南八市质量监测)某市在2022年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N(115,25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，……，第六组[130,140]，得到如下图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974.[解析] (1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为：13\n1－(0.01×10＋0.024×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10)＝1－0.88＝0.12，所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为85×0.1＋95×0.24＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08＝8.5＋22.8＋31.5＋18.4＋15＋10.8＝107，所以该校的平均成绩为107.(2)由于＝0.0013，根据正态分布：∵P(115－3×5<X<115＋3×5)＝0.9974，∴P(X≥130)＝＝0.0013，即0.0013×10000＝13，所以前13名的成绩全部在130分以上，根据频率分布直方图这50人中成绩在130分以上(包括130分)的有0.08×50＝4人，而在[120,140]的学生共有0.12×50＋0.08×50＝10，所以X的取值为0,1,2,3，所以P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.所以X的分布列为X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.[方法点拨] 1.正态分布数学期望为μ，标准差为σ的正态随机变量概率密度函数为f(x)＝e－，x∈R.2．正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；13\n⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．3．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为68.3%；正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为95.4%；正态变量在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为99.7%.4．期望、方差的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)．6．(2022·石家庄市一模)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．(1)求集成电路E需要维修的概率；(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．[解析] (1)三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1＝P()＝P()P()P()＝××＝；②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝13\n所以，集成电路E需要维修的概率为P1＋P2＝＋＝.(2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B，而X＝100ξ，P(X＝100k)＝P(ξ＝k)＝Ck2－k，k＝0,1,2.X的分布列为：X0100200P∴E(X)＝0×＋100×＋200×＝或E(X)＝100E(ξ)＝100×2×＝.7．(2022·郑州市质检)为了迎接2022年3月30日在郑州举行的“中国郑州国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志.摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是.”(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．[解析] (1)设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P()＝，由对立事件的概率知P(A)＝1－P()＝.即P()＝＝，解得n＝3.(2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1、2、3，则η＝2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖；或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖，13\n∴P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝·＋·＝，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝，则η的分布列为：η123Ρ所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝.[方法点拨] 解决概率的实际应用问题，先通过审题，将条件翻译为解题需要的数学语言，再依据条件判明概率类型、弄清随机变量取值时所表示事件的含义，并把复杂事件进行合理的分拆，转化为简单事件，最后代入对应公式进行计算．请再练习下题：(2022·福建理，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．[解析] (1)设顾客所获的奖励额为X，(ⅰ)依题意，得P(X＝60)＝＝，顾客所获的奖励额为60元的概率为；(ⅱ)依题意，得X的所有可能取值为20,60，P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝.即X的分布列为X206013\nP0.50.5∴顾客所获的奖励额的期望E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元，所以先寻找期望为60的可能方案，对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能是60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面积之和最小值，所以期望也不可能是60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2，以下是对两个方案的评价：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.对于方案2，即方案(20,20,40,40)设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应选择方案2.13
