思想方法训练2 分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=-x2+ax,x≤1,2ax-5,x>1,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=3bc,且b=3a,则下列关系一定不成立的是( )A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是( )A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.54或53D.35或455.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,MN2=λAN·NB,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若x>0,且x≠1,则函数y=lgx+logx10的值域为( )A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m等于( )A.6B.7C.8D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为( )A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°9.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是 . 10.已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=0,0<x≤1,|x2-4|-2,x>1,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为 . 11.已知函数f(x)=2asin2x-23asinxcosx+a+b(a≠0)的定义域为0,π2,值域为[-5,1],求常数a,b的值.6\n12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.二、思维提升训练13.若直线l过点P-3,-32且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为( )A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=014.已知函数f(x)=110x+1(x≤1),lnx-1(x>1),则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)( )A.(-1,0]B.-1,110C.(-1,0]∪110,1e2D.-1,1e215.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小. 16.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.17.设函数f(x)=αcos2x+(α-1)(cosx+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.6\n思想方法训练2 分类讨论思想一、能力突破训练1.B 解析当-a-2<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.B 解析在△ABC中,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,则A=π6.又b=3a,由正弦定理,得sinB=3sinA=32,则B=π3或B=2π3.当B=π3时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=2π3时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C 解析当0<a<1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C 解析焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;焦点在y轴上时,ab=34,此时离心率e=ca=53,故选C.5.C 解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),MN=(0,-y),AN=(x+1,0),NB=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.D 解析当x>1时,y=lgx+logx10=lgx+1lgx≥2lgx·1lgx=2;当0<x<1时,y=lgx+logx10=--lgx+-1lgx≤-2-lgx·-1lgx=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.C 解析∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2aM,∴a2(1+q3-2qm-2)=0,1+q3-2qm-2=0,∴qm-2=14,∴m=8.8.C 解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=3,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=33=3,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9.12或32 解析当a>1时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=ax在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=12.故a=或a=32.10.4 解析f(x)=-lnx,0<x≤1,lnx,x>1,g(x)=0,0<x≤1,2-x2,1<x<2,x2-6,x≥2.(1)当0<x≤1时,方程化为|-lnx+0|=1,解得x=1e或x=e(舍去).所以此时方程只有1个实根1e.(2)当1<x<2时,方程可化为|lnx+2-x2|=1.设h(x)=lnx+2-x2,则h'(x)=1x-2x=1-2x2x.因为1<x<2,所以h'(x)=1-2x2x<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)∈(ln2-2,1).6\n又ln2-2<-1,故当1<x<2时方程只有1解.(3)当x≥2时,方程可化为|lnx+x2-6|=1.记函数p(x)=lnx+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln2+22-6=ln2-2<-1.又p(3)=ln3+32-6=ln3+3>1,所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|lnx+x2-6|=1有2个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.解f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b=-2asin2x+π6+2a+b.∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,76π,∴-12≤sin2x+π6≤1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得a>0,-2a×-12+2a+b=1,-2a×1+2a+b=-5或a<0,-2a×1+2a+b=1,-2a×-12+2a+b=-5,解得a=2,b=-5或a=-2,b=1.12.解(1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+ax.因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+a2=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+ax=x2-(a+1)x+ax=(x-1)(x-a)x.①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-12a2+alna,极小值是f(1)=-12.②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-12,极小值是f(a)=-12a2+alna.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-12a2+alna,极小值是-12;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a2+alna.二、思维提升训练13.D 解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为52-42=3k-32k2+1,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.6\n14.C 解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=1x.设切点为(x0,y0),k=1x0,所以切线方程为y-y0=1x0(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=1e2,所以切线l1的斜率为1e2.设过原点与y=110x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为110,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是110,1e2.当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0]∪110,1e2,故选C.15.22-2 解析当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=-x2+ax,0≤x<a,x2-ax,a≤x≤1在区间0,a2内递增,在区间a2,a上递减,在区间(a,1]上递增,且fa2=a24,f(1)=1-a,∵a24-(1-a)=14(a2+4a-4),∴当0<a<22-2时,a24<1-a.当22-2≤a<1时,a24≥1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间0,a2上递增,在区间a2,1上递减,当x=a2时,f(x)取得最大值fa2=a24;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=1-a,a<22-2,a24,22-2≤a<2,a-1,a≥2在区间(-∞,22-2)上递减,在区间[22-2,+∞)上递增,即当a=22-2时,g(a)有最小值.16.解(1)f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=2x2+ax.当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<-a2,此时f(x)单调递减;令f'(x)>0,解得-a2<x≤e,此时f(x)单调递增,所以f(x)min=f-a2=a2ln-a2-a2;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=a2ln-a2-a2,相应的x=-a2;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x.由x∈[1,e],知lnx≤1≤x且等号不能同时成立,得lnx<x,即x-lnx>0,6\n因而a≥x2-2xx-lnx,x∈[1,e],令g(x)=x2-2xx-lnx(x∈[1,e]),则g'(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2,当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).17.(1)解f'(x)=-2αsin2x-(α-1)sinx.(2)解(分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos2x+(α-1)(cosx+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cosx-1.令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=1-α4α时,g(t)取得极小值,极小值为g1-α4α=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α.令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去),α>15.当0<α≤15时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.当15<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g1-α4α.又g1-α4α-|g(-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A=g1-α4α=α2+6α+18α.综上,A=2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.(3)证明由(1)得|f'(x)|=|-2αsin2x-(α-1)sinx|≤2α+|α-1|.当0<α≤15时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当15<α<1时,A=α8+18α+34≥1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.6
