专题能力训练8 利用导数解不等式及参数范围一、能力突破训练1.已知函数f(x)=ax2+bx-lnx,a,b∈R.(1)若a<0,且b=2-a,试讨论f(x)的单调性;(2)若对∀b∈[-2,-1],∃x∈(1,e)使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.解(1)f'(x)=2ax+(2-a)-1x=2ax2+(2-a)x-1x=(ax+1)(2x-1)x.当-1a<12,即a<-2时,f(x)的单调递增区间为-1a,12,单调递减区间为0,-1a,12,+∞;当-1a=12,即a=-2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-1a>12,即0>a>-2时,f(x)的单调递增区间为12,-1a,单调递减区间为0,12,-1a,+∞.(2)对∀b∈[-2,-1],∃x∈(1,e)使得ax2+bx-lnx<0成立,即ax2-x-lnx<0在区间(1,e)内有解,即a<lnx+xx2在(1,e)内有解,即a<lnx+xx2max.令g(x)=lnx+xx2,则g'(x)=-x(x-1+2lnx)x4.∵x∈(1,e),∴g'(x)<0,即在区间(1,e)内g(x)单调递减.∴a<g(1)=1.故实数a的取值范围为a<1.2.已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)单调递增.若a>0,则当x∈0,1a时,f'(x)>0;当x∈1a,+∞时,f'(x)<0.所以f(x)在区间0,1a单调递增,在区间1a,+∞单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a取得最大值,最大值为f1a=ln1a+a1-1a=-lna+a-1.因此f1a>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在区间(0,+∞)单调递增,g(1)=0.8\n于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).3.已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:nmmn>mn.解(1)∵f(x)=ax+xlnx,∴f'(x)=a+lnx+1.又f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+lne+1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k≥1+lnxx对任意x>0成立.令g(x)=1+lnxx,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)=1x·x-(1+lnx)x2=-lnxx2.令g'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明:令h(x)=xlnxx-1,则h'(x)=x-1-lnx(x-1)2.由(2)知,x≥1+lnx(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)上的增函数.∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即nlnnn-1>mlnmm-1,∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,∴lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n.∴(mnn)m>(nmm)n,∴nmmn>mn.4.已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.(1)当a=-1时,判断f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+ax在其定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(3)当a=0时,函数f(x)的图象关于y=x对称得到函数h(x)的图象,若直线y=kx与曲线y=2x+1h(x)没有公共点,求k的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x-1x2,8\n∵当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数.(2)由g(x)=f(x)+ax=lnx-ax+ax,可知函数g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=ax2+x+ax2.∵g(x)在其定义域内为减函数,∴∀x∈(0,+∞),g'(x)≤0.∴ax2+x+a≤0⇔a(x2+1)≤-x⇔a≤-xx2+1⇔a≤-xx2+1min.又xx2+1=1x+1x≤12,∴-xx2+1≥-12,当且仅当x=1时取等号.∴a≤-12.(3)∵当a=0时,f(x)=lnx,∴h(x)=ex.直线l:y=kx与曲线y=2x+1h(x)=2x+1ex没有公共点,等价于关于x的方程(k-2)x=1ex(*)在R上没有实数解,①当k=2时,方程(*)可化为1ex=0,其在R上没有实数解.②当k≠2时,方程(*)可化为1k-2=xex.令g(x)=xex,则有g'(x)=(1+x)ex.令g'(x)=0,得x=-1,当x在区间(-∞,+∞)内变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘-1e↗当x=-1时,g(x)min=-1e,同时当x趋于+∞时,g(x)趋于+∞,故g(x)的取值范围为-1e,+∞.因此当1k-2∈-∞,-1e时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围是(2-e,2).综合①②,可知k的取值范围是(2-e,2].5.设函数f(x)=alnx,g(x)=12x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.解(1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),即alnx+2x≤(a+3)x-12x2,8\n化简,得a(x-lnx)≥12x2-x.由x∈[1,e]知x-lnx>0,因而a≥12x2-xx-lnx.设y=12x2-xx-lnx,则y'=(x-1)(x-lnx)-1-1x12x2-x(x-lnx)2=(x-1)12x+1-lnx(x-lnx)2.∵当x∈(1,e)时,x-1>0,12x+1-lnx>0,∴y'>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a≥ymin=-12,即实数a的取值范围是-12,+∞.(2)当a=1时,f(x)=lnx.由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立,设t(x)=m2x2-xlnx(x>0).由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t'(x)=mx-lnx-1≥0恒成立,即m≥lnx+1x恒成立.因此,记h(x)=lnx+1x,得h'(x)=-lnxx2.∵函数在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.6.已知函数f(x)=lnx-(x-1)22.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x>1时,f(x)<x-1;(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1).(1)解f'(x)=1x-x+1=-x2+x+1x,x∈(0,+∞).由f'(x)>0得x>0,-x2+x+1>0,解得0<x<1+52.故f(x)的单调递增区间是0,1+52.(2)证明令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),则有F'(x)=1-x2x.当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在区间[1,+∞)上单调递减,故当x>1时,F(x)<F(1)=0,即当x>1时,f(x)<x-1.(3)解由(2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意.当k>1时,对于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),则f(x)<k(x-1),从而不存在x0>1满足题意.8\n当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),则有G'(x)=1x-x+1-k=-x2+(1-k)x+1x.由G'(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得x1=1-k-(1-k)2+42<0,x2=1-k+(1-k)2+42>1.当x∈(1,x2)时,G'(x)>0,故G(x)在区间[1,x2)内单调递增.从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),综上,k的取值范围是(-∞,1).二、思维提升训练7.(2022江苏,20)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a的取值范围.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3x+a32+b-a23.当x=-a3时,f'(x)有极小值b-a23.因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f-a3=-a327+a39-ab3+1=0,又a>0,故b=2a29+3a.因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-a23=19a(27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=-a-a2-3b3,x2=-a+a2-3b3.列表如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗ 故f(x)的极值点是x1,x2.从而a>3.因此b=2a29+3a,定义域为(3,+∞).(2)证明:由(1)知,ba=2aa9+3aa.8\n设g(t)=2t9+3t,则g'(t)=29-3t2=2t2-279t2.当t∈362,+∞时,g'(t)>0,从而g(t)在区间362,+∞内单调递增.因为a>3,所以aa>33,故g(aa)>g(33)=3,即ba>3.因此b2>3a.(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-23a,x12+x22=4a2-6b9.从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=x13(3x12+2ax1+b)+x23(3x22+2ax2+b)+13a(x12+x22)+23b(x1+x2)+2=4a3-6ab27-4ab9+2=0.记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-a23=-19a2+3a,所以h(a)=-19a2+3a,a>3.因为h'(a)=-29a-3a2<0,于是h(a)在区间(3,+∞)内单调递减.因为h(6)=-72,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].8.设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于14.(1)解由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:①当a≤0时,有f'(x)=3x2-a≥0恒成立.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x -∞,-3a3 -3a3-3a3,3a3 3a3,+∞ 8\n3a3f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以f(x)的单调递减区间为-3a3,3a3,单调递增区间为-∞,-3a3,3a3,+∞.(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠0.由题意,得f'(x0)=3x02-a=0,即x02=a3,进而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b.又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)证明设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a≥3时,-3a3≤-1<1≤3a3,由(1)知,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1),f(-1)],因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=a-1+b,b≥0,a-1-b,b<0.所以M=a-1+|b|≥2.②当34≤a<3时,-23a3≤-1<-3a3<3a3<1≤23a3,由(1)和(2)知f(-1)≥f-23a3=f3a3,f(1)≤f23a3=f-3a3,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为f3a3,f-3a3,因此M=maxf3a3,f-3a3=max-2a93a-b,2a93a-b=max2a93a+b,2a93a-b=2a93a+|b|≥29×34×3×34=14.③当0<a<34时,-1<-23a3<23a3<1,由(1)和(2)知f(-1)<f-23a3=f3a3,f(1)>f23a3=f-3a3,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1),f(1)],因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>14.8\n综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于14.8
