广东省中山市中山一中2022届高考数学热身试题 文（含解析）

广东省中山一中2022届高三高考热身文科数学试题本试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。从考生的反映看，试题难度适中，最后两道大题考查深入，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应用，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查，注重认识能力的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能力。注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查，充分体现了能力立意，在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上，以逻辑思维能力为核心，同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力，同时加强对思维品质的考查。试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。2022．5本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.参考公式：锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数是纯虚数，则的值为（）A．0B．C．D．【知识点】复数是纯虚数的条件，复数的乘法运算。【答案解析】B解析：解：因为复数是纯虚数，所以所以，所以,所以选B。【思路点拨】根据复数是纯虚数的条件，求得a=0，从而，所以。2.已知全集，，，则（）A．B．C．D．【知识点】一元二次不等式的解法，集合运算。【答案解析】D解析：解：易得，所以，所以选D【思路点拨】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再求得3.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是，-13-\n乙班学生成绩的中位数是，则的值为（）A.B.C.D.【知识点】平均数、中位数的意义。【答案解析】D解析：解：由平均数的定义求得x=8，由中位数的定义求得y=5，所以x+y=13.所以选D.【思路点拨】根据平均数的定义、中位数的定义分别求得x、y的值。4．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是（）A．B．C．D．【知识点】几何概型的概率求法。【答案解析】B解析：解：此等腰直角三角形的面积为2，而这个三角形中到直角顶点距离不大于1的点构成的图形面积为，所以所求概率为。所以选B.【思路点拨】先求等腰直角三角形的面积，再求这个三角形中到直角顶点距离不大于1的点构成的图形面积，然后利用几何概型的概率公式求所求概率。5．“”是“函数存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的意义。【答案解析】A解析：解：因为：“若则函数存在零点”是真命题；而“若函数存在零点则”是假命题。所以选A。【思路点拨】：先判断命题“若则函数存在零点”；与命题“若函数存在零点则”的真假，再确定选项。6.已知变量x、y，满足条件，则目标函数z=x+y的最大值是（）A.2B.5C.6D.7【知识点】线性规划问题。【答案解析】C解析：解：画出可行域，可以确定直线的交点A的坐标（3，3）是最优解，所以目标函数z=x+y的最大值是6.所以选C.【思路点拨】先画出现行约束条件下的可行域，可以确定直线-13-\n的交点A的坐标（3，3）是最优解，所以目标函数z=x+y的最大值是6.7.设l，m是两条不同直线，,是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A.若，∩＝m，则lm　　B.若l⊥，l，则⊥C.若l，m，则lm　　　D.若l，m⊥l，则m⊥【知识点】线面位置关系的判定与性质。【答案解析】B解析：解：对于选项A：可能平行也可能异面；对于选项B：，，所以选B。【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质，逐项分析各个命题的正误。8．在中，,，则=（）A.B．C．D．【知识点】共线向量的意义，向量的加法、减法运算。【答案解析】A解析：解：所以选A。【思路点拨】根据已知条件画出图形，结合已知条件求得向量。9.己知双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）A.B.C.D.【知识点】双曲线离心率的意义、双曲线中a、b、c的关系。抛物线的交点坐标。【答案解析】D解析：解：根据题意得：解得a=，从而，所以=，所以选D。【思路点拨】根据双曲线离心率的意义、双曲线中a、b、c的关系。抛物线的交点坐标等，求得a、b值。10．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）-13-\nA．B．C．D．【知识点】导数法确定函数的单调性，构造新函数，奇函数的性质，解不等式等。【答案解析】B解析：解：因为为奇函数，且定义域R，所以，设，因为，所以函数是R上的减函数，不等式为。所以。所以选B。【思路点拨】根据为奇函数，且定义域R这些条件，求得在构造函数，因为，所以函数是R上的减函数，所以不等式为。所以。二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11.设正项等比数列已前n项积为,若，则的值为__________.【知识点】等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用。【答案解析】3解析：解：由得，所以【思路点拨】根据已知等式得，所以开始a=3=1i>5i=i+1结束输出a是否12．执行如图所示的程序框图，输出的a值为___________．【知识点】程序框图描述的算法意义。【答案解析】-2解析：解：（1）i=1,a=-2,(2)i=2,-13-\na=,(3)i=3,a=,(4)i=4,a=3,(5)i=5,a=-2,（6）i=6>5成立，所以输出的a值为-2。【思路点拨】根据程序框图描述的算法意义，依次写出每次循环的结果即可。13．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于.【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用。【答案解析】解析：解：由A=60°，得bc=15，由5sinB=3sinC得5b=3c，解得b=3，c=5，有余弦定理得：，所以。所以ABC的周长等于。【思路点拨】根据条件A=60°，得bc=15，再由5sinB=3sinC得5b=3c，解得b=3，c=5，有余弦定理得：，所以。所以ABC的周长等于。（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于A和B两点，则=．【知识点】参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，圆的弦长求法。【答案解析】解析：解：直线的极坐标方程为的直角坐标方程为：，曲线为参数）的普通方程为：，易知为圆：截直线所得的弦，而圆心(1,2)到直线的距离为所以=2.【思路点拨】把直线的极坐标方程为转化为直角坐标方程；-13-\n把曲线为参数）转化为普通方程：，易知为圆：截直线所得的弦，而圆心(1,2)到直线的距离为所以=2.15．（几何证明选讲选做题）如图，已知P是圆O外一点，PA为圆O的切线,A为切点．割线PBC经过圆心O，若PA＝3，PC=9，则∠ACP=.【知识点】圆的切线的性质，勾股定理，三角形的性质等。【答案解析】解析：解：设：圆半径为R，则OP=9-R,因为PA为圆O的切线,A为切点，所以,所以，解得R=3，所以OP=6，【思路点拨】因为PA为圆O的切线,A为切点，所以,根据勾股定理求得半径为3，所以三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）设函数其中向量，.（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；（Ⅱ）将函数的图象沿轴向右平移,则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数的图象关于轴对称？【知识点】响亮的数量积运算，三角变换，三角函数的最值，平移变换，三角函数的对称性。【答案解析】（1）-1，.(2).解析：解:(1)……3分-13-\n.…………..4分故函数的最小值为，此时，于是,故使取得最小值的的集合为.……………..7分（Ⅱ）由条件可得，………………8分因为其图象关于轴对称，所以，，………10分又，故当时，取得最小值，………………11分于是至少向右平移个单位长度，才能使得到的函数的图象关于轴对称.………………12分【思路点拨】(1)利用数量积的定义求得.故函数的最小值为，此时，于是,故使取得最小值的的集合为.（Ⅱ）由左右平移口诀得，因为其图象关于轴对称，所以，，又，故当时，取得最小值，于是至少向右平移个单位长度，才能使得到的函数的图象关于轴对称.17．（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两个不同的点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋．（Ⅰ）写出数量积X的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【知识点】向量数量积的坐标运算，古典概型的概率求法。【答案解析】（Ⅰ）,,0,1，-13-\n（Ⅱ）小波去下棋的概率为,小波不去唱歌的概率.解析：解：(Ⅰ)X的所有可能取值为,,0,1………………2分(Ⅱ)数量积为的只有一种,………………3分数量积为的有,,,,,六种………………5分数量积为0的有,,,四种………7分数量积为1的有,,,四种故所有可能的情况共有15种.………………8分因此满足X<0的是数量积分别为和的7种,………………9分所以小波去下棋的概率为………………10分因为去唱歌的概率为,所以小波不去唱歌的概率.………………12分【思路点拨】(Ⅰ)根据向量数量积的坐标运算求得X的所有可能取值。(Ⅱ)确定X取各值时的情况种数，例如：数量积为的只有一种,最终得到所有可能的情况共有15种，然后，根据各事件包含的基本事件个数求出所求概率。18．（本小题满分14分）已知数列中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;(Ⅱ)若，设数列的前的和为，当为何值时，有最大值，并求最大值.【知识点】已知递推公式求通向项，数列前n项和求法，数列最大项求法。【答案解析】（Ⅰ）an=2n+1，(Ⅱ)时，达最大值，解析：解：（Ⅰ）由题意知,即……………3分………………5分………7分检验知n=1,2时，结论也成立，故an=2n+1．…………………………8分(Ⅱ)由…………10分-13-\n法一:当时，；当时，；当时，………………12分故时，达最大值，.……………………14分（法二：可利用等差数列的求和公式求解）【思路点拨】（Ⅰ）由题意可把递推公式转化为：，再用迭代法或累加法求得,然后检验n=1,2时，结论是否成立即可。(Ⅱ)利用（Ⅰ）的结论求得因为当时，；当时，；当时，所以时，达最大值，.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;（Ⅲ）若，试求的值．【知识点】线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，锥体的体积公式等。【答案解析】（Ⅰ）、（Ⅱ）略，（Ⅲ）解析：解：（Ⅰ）证明：由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE；………2分又底面ABCD是菱形，∠BAD=60所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，………4分又PE∩BE=E　所以AD⊥平面PBE.………………5分（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连OQ；因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ//PA，………………8分又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA//平面BDQ.………………9分（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为.-13-\n所以，,………………10分又因为，且底面积，………………12分所以.………14分【思路点拨】（Ⅰ）只需证明AD⊥PE，AD⊥BE。（Ⅱ）只需证明平面BDQ上存在直线与PA平行，为此，连接AC交BD于点O，连OQ；因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ//PA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA//平面BDQ.（Ⅲ）可设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为.则，,又因为，且底面积，所以.20.（本小题满分14分）如图，已知点为椭圆的右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.（Ⅰ）求的值及椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点满足，其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.【知识点】点在曲线上的意义，圆的切线的性质，勾股定理的应用，椭圆中a、b、c的关系，直线斜率的意义，运算能力等。【答案解析】（Ⅰ）t=1，，（Ⅱ）20解析：解：（Ⅰ）由题意可知，又.又.…..2分在中，，-13-\n故椭圆的标准方程为：………..6分（Ⅱ）设,,………………8分∵M、N在椭圆上，∴………………9分又直线OM与ON的斜率之积为，∴，………………10分于是………………12分.故为定值.……..14分【思路点拨】（Ⅰ）把点代入圆方程得，t=又.因为直线与圆相切于点.所以直角三角形，，从而求得a、c值，进一步得椭圆的标准方程。（Ⅱ）设设出点M、N的坐标,根据条件得：，∵M、N在椭圆上，∴又直线OM与ON的斜率之积为，∴，于是.故为定值.21．（本小题满分14分）已知函数的图象在点处的切线斜率为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）判断方程根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．【知识点】导数的几何意义，函数零点存在性的确定，导数法判定函数的单调性，直线与曲线的位置关系的判定。【答案解析】（Ⅰ）8，（Ⅱ,1个，（Ⅲ）存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧。-13-\n解析：解：（Ⅰ）因为，所以，………1分函数的图象在点处的切线斜率．………………2分由得：．………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．因为，，所以在定义域上至少有一个根．………………………5分又因为，所以在上递增，所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实根．…………………7分（Ⅲ）证明如下：由，，可求得曲线在点处的切线方程为，即．…………………8分记，………………………9分则．…………………10分（1）当，即时，对一切成立，所以在上递增．又，所以当时，当时，即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．…………………11分（2）当，即时，时，；时，；时，．故在上单调递减，在上单调递增．又，所以当时，；当时，，即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．……12分(3)当，即时，时，；时，；-13-\n时，．故在上单调递增,在上单调递减.又，所以当时，；当时，，即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．……13分综上所述,存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．………………………………14分【思路点拨】：（Ⅰ）由函数的图象在点处的切线斜率=10．得：．（Ⅱ）令．即确定函数的零点个数。因为，，所以在定义域上至少有一个根．又因为，所以在上递增，所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实根．（Ⅲ）先求出函数在点处的切线方程，记，显然t是=0的一个根，所以只需分析函数在两侧的函数值符号，同号时点A不存在，异号时点A存在。为了确定函数在两侧的函数值符号，可以用导数法分析函数在两侧的单调性。单调性相同时点A存在，单调性不相同时点A不存在。-13-