思想方法训练3 数形结合思想一、能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数z1+i对应的点位于复平面内的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.方程sinx-π4=14x的实数解的个数是( )A.2B.3C.4D.以上均不对3.若x∈{x|log2x=2-x},则( )A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x24.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于( )A.2±2B.2-2或6-32C.6±32D.2+2或6+3211\n5.已知函数f(x)=|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)6.已知函数f(x)=4x与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是( )A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)7.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为 . 9.函数f(x)=2sinxsinx+π2-x2的零点个数为 . 10.若不等式9-x2≤k(x+2)-2的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k= . 11.(2022浙江,15)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=fx-π122,求函数g(x)在x∈-π6,π3上的最大值,并确定此时x的值.二、思维提升训练13.已知函数f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )11\nA.74,+∞B.-∞,74C.0,74D.74,214.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )A.-32e,1B.-32e,34C.32e,34D.32e,115.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )A.22B.4C.32D.616.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是 ; (2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是 . 17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-lnx(a,b∈R),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;11\n(2)若函数F(x)=f(x),x≤0,g(x),x>0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.11\n思想方法训练3 数形结合思想一、能力突破训练1.D 解析由题图知,z=2+i,则z1+i=2+i1+i=2+i1+i·1-i1-i=32-12i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.B 解析在同一坐标系内作出y=sinx-π4与y=14x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.A 解析设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,则有x2>x>1.4.D 解析结合函数f(x)的图象(图略)知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+2;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+32,故选D.5.C 解析作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,则-lga=lgb=-12c+6.∴lga+lgb=0,∴ab=1,∴abc=c.由图知10<c<12,∴abc∈(10,12).6.B 解析如图,由题知,若f(x)=4x与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有23+t>2,(-2)3+t<-2,解得-6<t<6.11\n7.C 解析当a=0时,f(x)=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0,x>0时,f(x)=(-ax+1)x=-ax-1ax,结合二次函数的图象可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.函数f(x)在区间(0,+∞)上有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的充要条件,故选C.8.-12 解析在同一坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.9.2 解析f(x)=2sinxsinx+π2-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.10.2 11\n解析令y1=9-x2,y2=k(x+2)-2,在同一个坐标系中作出其图象,如图.∵9-x2≤k(x+2)-2的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,22),∴k=22+21+2=2.11.(1,4) (1,3]∪(4,+∞) 解析当λ=2时,f(x)=x-4,x≥2,x2-4x+3,x<2.当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.综上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集为(1,4).分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).12.解(1)由题图知A=2,T4=π3,则2πω=4×π3,得ω=32.又f-π6=2sin32×-π6+φ=2sin-π4+φ=0,∴sinφ-π4=0.∵0<φ<π2,-π4<φ-π4<π4,∴φ-π4=0,即φ=π4,11\n∴f(x)的解析式为f(x)=2sin32x+π4.(2)由(1)可得fx-π12=2sin32x-π12+π4=2sin32x+π8,g(x)=fx-π122=4×1-cos3x+π42=2-2cos3x+π4.∵x∈-π6,π3,∴-π4≤3x+π4≤5π4,∴当3x+π4=π,即x=π4时,g(x)max=4.二、思维提升训练13.D 解析由f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,得f(x)=2+x,x<0,2-x,0≤x≤2,(x-2)2,x>2,f(2-x)=2+2-x,2-x<0,2-(2-x),0≤2-x≤2,(2-x-2)2,2-x>2=x2,x<0,x,0≤x≤2,4-x,x>2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0≤x≤2,x2-5x+8,x>2.因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b∈74,2时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.14.D 解析设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.11\n所以g(x)的最小值为g-12.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D12,0.取点C-1,-3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足kPC≤a<kPA.而kPC=0--3e1-(-1)=32e,kPA=0-(-1)1-0=1,所以32e≤a<1.故选D.15.C 解析画出不等式组x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0表示的平面区域如图阴影部分所示.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C,直线x=2与直线x+y=0的交点为D.过C作CA⊥直线x+y-2=0于点A,过D作DB⊥直线x+y-2=0于点B,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,∴|CD|=|AB|.11\n由x-3y+4=0,x+y=0,得x=-1,y=1,∴C点坐标为(-1,1).由x=2,x+y=0,得x=2,y=-2,∴D点坐标为(2,-2).∴|CD|=9+9=32,即|AB|=32.故选C.16.(1)Q1 (2)p2 解析(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然Ci的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p=y1+y2x1+x2=y1+y22x1+x22=kOC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得kOC2>kOC1>kOC3,故p1,p2,p3中最大的是p2.17.解函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+∞).(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0,g'(x)=2bx-1x⇒g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=12.(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-1x<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x-1x>0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则12<a2<2a,11\n所以实数a的取值范围是22,2.图①图②11
