第05节数系的扩充和复数的引入【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测数系的扩充和复数的引入1．理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念.2．了解复数的加、减运算的几何意义.3．掌握复数代数形式的四则运算.2022•浙江文2，理1；2022•浙江文11；理2；2022•浙江12.1.以考查复数的运算（特别是乘法）为主，基本稳定为选择题或填空题，为容易题；2.从各地高考命题看，考查复数的运算、概念相结合，复数的运算与复数的几何意义相结合，命题比较灵活，题型稳定，均为容易题.3.备考重点：理解有关概念是基础，掌握复数代数的四则运算法则是关键，熟、快、准是得分的保障.【知识清单】1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．①当b＝0时，复数a＋bi为实数；②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．3.复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．5.复数的模-8-\n向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或.即＝＝r＝(r≥0，r∈R)．对点练习：【2022浙江台州4月一模】已知复数z=1+aii(a∈R)的实部为1，则a=_________，|z|=__________．【答案】12【解析】z=1+aii=a-i，实部a=1，所以z=1-i，|z|=2.2．复数的几何意义1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．对点练习：【2022高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A3.复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(3)＝＋i(z2≠0)．2..对点练习：【2022浙江,12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则-8-\n，ab=．【答案】5，2【解析】由题意可得，则，解得，则【考点深度剖析】从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．【重点难点突破】考点1复数的有关概念及性质【1-1】下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；(3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；(4)x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】(4)只有当x，y∈R时命题才正确．(5)若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A.【1-2】(1)i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )A．－3B．－1C．1D．3-8-\n(2)若＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.【答案】（1）D；（2）3.【解析】(1)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.故选D.(2)由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－a)i，根据复数相等的定义可得∴a＋b＝3.故填3.【领悟技法】（1）中的负号易忽略.（2）对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R.(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.【触类旁通】【变式一】【2022浙江嘉兴测试】已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（）A．-2B．-1C．0D．2【答案】A【变式二】已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设,则,故,解之得,则,故,应选B.考点2复数的几何意义【2-1】【2022浙江模拟】当23<m<1时，复数z=(3m-2)+(m-1)i在平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限-8-\n【答案】D【解析】23<m<1，则3m－2>0，m－1<0，点在第四象限．【2-2】已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A即sinA－cosB＞0.同理可得，sinB－cosA＞0.故选A.【领悟技法】复数的几何意义(1) (其中a，b∈R)．(2)表示复数z对应的点与原点的距离．(3)表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．【触类旁通】【变式一】已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，在第四象限.【变式二】复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为-8-\n（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因，故在第一象限，应选A．考点3复数的代数运算【3-1】复数的实部与虚部之和为（）A．-3B．4C．3D．-11【答案】D【解析】【3-2】【2022浙江嘉兴、杭州、宁波等五校联考】若复数满足,其中为虚数单位,则=( )A.B.C.D.【答案】B【解析】设，所以，所以，所以选B.【领悟技法】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．【触类旁通】【变式一】【2022浙江高考模拟】已知复数，其中为虚数单位，则（）A.B.C.D.2-8-\n【答案】C.【解析】由题意得，，∴，故选C.【变式二】【2022高考新课标3理数】若，则（）(A)1(B)-1(C)(D)【答案】C【易错试题常警惕】易错典例：已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错．正确解析：，所以，虚部为，选D.温馨提醒：1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；(3)若z＋z＝0，则z1＝z2＝0.2.注意利用共轭复数的性质，将转化为，即复数的模的运算，常能使解题简捷．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.-8-\n向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】2022“超级全能生”浙江3月联考】在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A.B.C.D.【答案】D-8-
