第04节直线、平面平行的判定与性质【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测直线、平面平行的判定与性质掌握公理、判定定理和性质定理.2022•浙江理10,20;2022•浙江文4;2022•浙江文2；理2;2022•浙江19.1.以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明.2.利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题.3.备考重点：(1)掌握相关定义、公理、定理；(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.（3）证明平行关系，要充分利用中点、三角形中位线、平行四边形以及成比例线段【知识清单】1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b对点练习：【2022课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）-25-\n【答案】A【解析】2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α对点练习：【2022届湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第二次联考】设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A3.线面、面面平行的综合应用-25-\n1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：aα，bα，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；aα⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，aα⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.对点练习：【2022届重庆市巴蜀中学高三三诊】设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.，则B.，则C.，则D.，则【答案】D【解析】由于可能出现，所以A错。两平面平行，要与第三平面相交，才能推出两交线平行，B选项不符，所以B错。线面平行，需与过直线的平面与已知平面的交线平行，所以C错。D中，两平面平行，则一平面中的任一直线与另一平面平行。D对。选D.【考点深度剖析】近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式,通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质，考查转化思想、空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力.-25-\n【重点难点突破】考点一直线与平面平行的判定与性质【1-1】【2022届四川省第一次名校联考（广志联考）】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M,N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=23a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.相交B.平行C.垂直D.不能确定【答案】B【1-2】【2022届浙江省温州市高三二模】已知空间两不同直线m、n，两不同平面α，β，下列命题正确的是（）A.若m∥α且n∥α，则m∥nB.若m⊥β且m⊥n，则n∥βC.若m⊥α且m∥β，则α⊥βD.若m不垂直于α，且n⊂α，则m不垂直于n【答案】C【解析】因答案A中的直线m，n可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线n⊂β也成立，故不正确；答案C中的直线m可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面α，β互相垂直，是正确的；答案D中直线m也有可能垂直于直线n，故不正确.应选答案C.【1-3】如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.-25-\n【答案】M在线段HF上【1-4】如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：MN∥AB；(2)求证：CE∥面PAD.【答案】见解析.【解析】 (1)∵M、N为PD、PC的中点，∴MN∥DC，又∵DC∥AB，∴MN∥AB.-25-\n(2)证法一：如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB.又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD.所以四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD.证法二：如图(2)，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.【领悟技法】判断或证明线面平行的常用方法： 利用线面平行的定义，一般用反证法； 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；) 利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【触类旁通】【变式1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1-25-\n内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在 B．有1条C．有2条 D．有无数条【答案】D【变式2】【2022届北京市昌平区高三二练】已知直线和平面，满足.则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，，由线面平行的判定定理可得，若，，与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【变式3】在空间中，下列命题正确的是( )A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β【答案】D【解析】若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故选项A错误；B中当a∥b时，α、β可能相交，故选项B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故选项C错误．选项D为两平面平行的性质，故选D.【变式4】设α，β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，命题p：若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：若l∥α，m⊥l，m⊂β，则α⊥β-25-\n.下列命题为真命题的是( )A．p∨qB．p∧qC．(p)∨qD．p∧(q)【答案】C【解析】分别在两个平行平面内的直线未必平行，故命题p是假命题；当m⊥l，l∥α时，m不一定与α垂直，α⊥β不一定成立，命题q也是假命题．(p)∨q为真命题，故选C.综合点评：解决有关线面平行的基本问题的注意事项：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.考点二平面与平面平行的判定与性质【2-1】【2022届河北省曲周县第一中学一模】下列命题正确的是（）A.若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行B.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行D.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行【答案】B【2-2】【北京卷】设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.【2-3】【2022届广西柳州市高三毕业班上学期摸底】空间中，设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）-25-\nA.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】A项，若，过正方体同一顶点的三个平面分别为，则，故A项不合题意；B项，若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则，故B项符合题意；C项，若，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m在平面内或平行，故C项不合题意；D项，若,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m在平面内或平行，故D项不合题意.故选B.【2-4】如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．【答案】（1）当＝1时，BC1∥平面AB1D1.（2）1.-25-\n又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，∴＝，又由题可知＝，＝1，∴＝1，即＝1.【领悟技法】证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．【触类旁通】【变式1】【2022届贵州省遵义市第四中学高三下第一次月考】已知是两条不重合的直线，-25-\n是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若是异面直线，，，，则．其中真命题是（）A.①和④B.①和③C.③和④D.①和②【答案】A【变式2】【河北石家庄高三调研试题】设表示直线表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．若且，则【答案】D【解析】A：应该是或；B：如果是墙角的三个面就不符合题意；C：，若时，满足，，但是不正确，所以选D.【变式3】【稳派全国统一考试模拟信息卷】若是两个相交平面，则“点A不在内，也不在内”是“过点A有且只有一条直线与和都平行”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C-25-\n【变式4】如图，在三棱柱中，底面，，E、F分别是棱的中点.（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；【答案】见解析（II）面//面，面面，面面，//，10分在中是棱的中点，-25-\n是线段的中点.12分综合点评：判定面面平行的常用方法：(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一条直线的两平面平行；(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.考点三线面、面面平行的综合应用【3-1】【河北石家庄高三调研】设表示直线表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．若且，则【答案】D【解析】A：应该是或；B：如果是墙角的三个面就不符合题意；C：，若时，满足，，但是不正确，所以选D.【3-2】如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．【答案】①②④【3-3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；-25-\n(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【答案】见解析.【解析】(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【3-4】【2022届江西省南昌市高三上摸底】如图，在四棱锥中，，，平面，.设分别为的中点.-25-\n（1）求证：平面∥平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）三棱锥的体积【解析】试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，则∥.又∵平面，平面，∴∥平面.在中，，∴.又∵，∴∥.-25-\n∵平面，平面，∴∥平面.又∵，∴平面∥平面.（2）由（1）知，平面∥平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离.由已知，，，，∴，∴三棱锥的体积.【领悟技法】解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【触类旁通】【变式1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（）位置时，平面D1BQ∥平面PAO.A．Q与C重合B．Q与C1重合C．Q为CC1的三等分点D．Q为CC1的中点【答案】D又∵D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，-25-\n∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B、QB平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.【变式2】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝a.(1)求证：AD⊥B1D；(2)求证：A1C∥平面AB1D；【答案】见解析.【解析】(1)证明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC．∴AD⊥BB1.又∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．又∵BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面B1BCC1.又∵B1D⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1D．(2)证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE.∵AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形，-25-\n∴E是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴DE∥A1C．∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．【变式3】【2022年福建省数学基地校高三复习】如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行．(I)问应当怎样画线，并说明理由；(II)求所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比．【答案】(I)见解析(II)1:4:1试题解析：(I)在三棱柱中，点是的中点，取的中点，连接，，，则平面∥平面，即为应画的线．理由如下：因为为的中点，为的中点，所以.又因为∥，所以四边形为平行四边形，所以∥....连接，则平行等于，所以平行等于，所以四边形是平行四边形，所以∥....又因为，，,-25-\n所以平面.(II)设棱柱的底面积为，高为.则所以三棱柱夹在平面与平面间的体积为∴所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比为【变式4】如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，BC＝，D、E分别为AB、OB的中点．（Ⅰ）求证：CO⊥平面AOB；（Ⅱ）在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.-25-\n所以CO⊥BO.又因为AO∩BO＝O，AO平面AOB，BO平面AOB，所以CO⊥平面AOB.（Ⅱ）在段线CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．如图，连接DF，EF，因为D、E分别为AB、OB的中点，所以DE∥OA.又DE⃘平面AOC，所以DE∥平面AOC.因为E、F分别为OB、BC的中点，所以EF∥OC.又EF平面AOC，所以EF∥平面AOC.又EF∩DE＝E，EF平面DEF，DE平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.综合点评：在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为-25-\n在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.【易错试题常警惕】易错典例：如图，已知、分别是正方体的棱，上的中点.求证：四边形是平行四边形.【错因】主要错在盲目地在立体几何证明题中套用平面几何定理.例题几何问题只有在化为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题.【正解】取的中点，连结、，-25-\n因为且，所以且，又，且，，所以且，所以且，所以且，故四边形是平行四边形.温馨提醒：1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.解题中注意符号语言的规范应用.【学科素养提升之思想方法篇】----化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.2.转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化-25-\n等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.4.转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化；（2）常量与变量的转化；（3）数与形的转化；（4）数学各分支之间的转化；（5）相等与不相等之间的转化；（6）实际问题与数学模型的转化.5．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；-25-\n（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.【典例】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.【答案】见解析．-25-\n(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.-25-
