课时提升练(四十九) 用样本估计总体一、选择题1．(2022·河南三市联考)在检验某产品直径尺寸的过程中，将某尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图上的高为h，则|a－b|等于( )A. B. C．mh D．与h，m无关【解析】 因为|a－b|×h＝m，所以|a－b|＝.【答案】 A2．(2022·辽宁五校协作体高三联考)对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们变为xi＋c(i＝1,2,3，…，n)，其中c为不等于零的常数，则下列结论中正确的是( )A．平均数与方差均不变B．平均数与方差均改变C．平均数改变而方差不变D．方差改变而平均数不变【解析】 设数据xi(i＝1,2,3，…，n)的平均数为，则数据xi＋c(i＝1,2,3，…，n)的平均数为＋c，即平均数发生了变化，排除A、D.原数据的方差为s2＝(xi－)2，则数据xi＋c(i＝1,2,3，…，n)的方差s′2＝[(xi＋c)－(＋c)]2＝(xi－)2＝s2，即方差不变．【答案】 C3.(2022·重庆高考)右面茎叶图9212记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )图9212A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8【解析】 由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，∴x＝5.9\n又∵乙组数据的平均数为＝16.8，∴y＝8.∴x，y的值分别为5,8.【答案】 C4．(2022·山东高考)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图9213是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图9213A．6B．8C．12D．18【解析】 志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.【答案】 C5．(2022·益阳模拟)为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如9214图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )图9214A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次9\nB．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人【解析】 由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故D是错误的，选D.【答案】 D6．(2022·四川高考)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图9215所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )图9215【解析】 法一 由题意知样本容量为20，组距为5.列表如下：分组频数频率[0,5)10.019\n[5,10)10.01[10,15)40.04[15,20)20.02[20,25)40.04[25,30)30.03[30,35)30.03[35,40]20.02合计201观察各选择项的频率分布直方图知选A.法二 由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等，故频率、也分别相等．比较四个选项知A正确，故选A.【答案】 A二、填空题图92167．如图9216是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩(单位：分)的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是______，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是________．【解析】 甲的5次成绩(单位：分)为76,83,84,87,90，平均数为＝84，乙的5次成绩(单位：分)为79,80,82,88,91，平均数为＝84，中位数为82，所以两数之差为84－82＝2.9\n【答案】 84 28．(2022·开封模拟)某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图9217所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000人中抽出100人做电话询访，则(30,35](百元)月工资收入段应抽出________人．图9217【解析】 月工资收入落在(30,35](百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出×100＝15(人)．【答案】 15图92189．在一项大西瓜品种的实验中，共收获甲种大西瓜13个、乙种大西瓜11个，并把这些大西瓜的重量(单位：斤，1斤＝500克)制成了茎叶图，如图9218所示，据此茎叶图写出对甲乙两种大西瓜重量的两条统计结论是：(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________．【解析】 从这个茎叶图可以看出，甲种大西瓜的重量大致对称，平均重量、众数及中位数都是30多斤；乙种大西瓜的重量除了一个51斤外，也大致对称，平均重量、众数及中位数都是20多斤，但甲种大西瓜的产量比乙种稳定，总体情况比乙好．9\n【答案】 (1)甲种大西瓜的平均重量大于乙种大西瓜 (2)甲种大西瓜的产量比乙种大西瓜稳定三、解答题10．(2022·吉林四校联考)某校高三年级进行了一次学业水平测试，用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩，准备进行分析和研究．经统计，成绩的分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)完成样本的频率分布表，画出频率分布直方图；(2)估计成绩在85分以下的学生比例；(3)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数(精确到0.01)．频率分布表分组频数频率[40,50)2[50,60)3[60,70)10[70,80)15[80,90)12[90,100]8合计50【解】 (1)频率分布表如下：分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合计501频率分布直方图如图所示：9\n(2)因为×100%＝72%，所以估计成绩在85分以下的学生比例为72%.(3)由频率分布直方图，可知[70,80)这一组对应的小长方形最高，估计众数为75分．设中位数为(70＋x)分，则0.04＋0.06＋0.2＋0.03x＝0.5，解得x≈6.67，估计中位数为76.67分．45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2，估计平均数为76.2分．11．(2022·广东高考)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．【解】 (1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：9\n(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为：(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.12．(2022·课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：甲部门乙部门3594404489751224566777899766533211060112346889887776655555444333210070011344966552008123345632220901145610000(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【解】 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.9\n(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．9
