专题讲座6概率、统计在高考中的常见题型与求解策略1．(2022·东北三省四校联考)已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )A. B.C.D.解析：选B.PQ中点组成的区域为M，如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.2．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k的值为( )A．8B．9C．10D．11解析：选C.当p＝时，P(X＝k)＝C·＝C·，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．3．(2022·邯郸调研)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析：设向上的数之积为X，则随机变量X的取值为0，1，2，4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此EX＝.答案：4．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc解析：由题意得，a＋b＋c＋＝1，①因为EX＝0，所以－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0，即－a＋c＋＝0.②因为DX＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，即a＋c＝.③4\n联立①②③解得a＝，b＝.答案： 5．(2022·辽宁省五校联考)在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．(1)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲、乙两个班级的成绩进行比较；(2)从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，求有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；(3)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取2人，3人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)从茎叶图可以得到：甲班平均分为89分；乙班平均分为89分．甲班的方差大于乙班的方差．所以甲、乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．(2)事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记为A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记为B，则P(B|A)＝＝＝.(3)X的取值为0，1，2，3，X的分布列为X0123P期望EX＝.6．(2022·成都调研)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则P(A)＝＝.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.4\n所以随机变量X的分布列为X01234P因此，EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.1．(2022·郴州一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题均有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该考生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．解：(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.该考生选择题得50分的概率为P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝×＝.(2)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝×＝，P(X＝35)＝C·＋·C·×＝，P(X＝40)＝×＋C××C××＋×＝，P(X＝45)＝C×＋×C××＝，P(X＝50)＝×＝.该考生所得分数X的分布列为X3035404550P所以EX＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.2．(2022·洛阳统考)在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：≈12.7，若z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)＝0.9544，结果取整数部分)(3)已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ.4\n解：(1)样本平均数和样本方差s2分别为＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70，s2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06＝161.(2)由(1)知，z～N(70，161)，从而P(z＞82.7)＝＝0.1587，所以能进入复试的人数为2000×0.1587≈317.(3)显然ξ的取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，ξ的分布列为ξ123P所以Eξ＝1×＋2×＋3×＝2.4
