第3讲等比数列及其前n项和1．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a＝anan＋2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.显然，n∈N*，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，….2．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于( )A．32 B．64C．－32D．－64解析：选A.易知数列a1，，，，，…，，…的通项为＝(－)n－1，故a5＝a1····＝1×(－)×2×(－2)×4＝32.3．已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )A.B．－C．5D．－5解析：选D.由1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，得an＋1＝3an，即数列{an}是公比为3的等比数列．设等比数列{an}的公比为q，又a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝log[q3(a2＋a4＋a6)]＝log(33×9)＝－5.4．(2022·莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2016＝( )A．92015B．272015C．92016D．272016解析：选D.由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，所以c2016＝33×2016＝272016.5．(2022·开封一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝2n(n∈N*)，则下列数列中一定为等比数列的是( )A．{an}B．{an－1}C．{an－2}D．{Sn}解析：选C.由Sn＋an＝2n(n∈N*)，①可得Sn－1＋an－1＝2(n－1)(n≥2，n∈N*)，②，①4\n－②得an＝an－1＋1(n≥2，n∈N*)，所以an－2＝(an－1－2)(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，a1－2＝－1≠0，所以{an－2}一定是等比数列，故选C.6．(2022·福州质检)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn，若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝( )A．512B．256C．81D．16解析：选A.由题意可知，a3a4a7q＝a3a7a4q＝a3a7a5＝a＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)·(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝a，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A.7．(2022·高考广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________．解析：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，所以b＝1.答案：18．(2022·北京海淀区高三检测)已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为＝an，所以an＋m＝an·am，所以a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8；令m＝1，则有an＋1＝an·a1＝2an，所以数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，所以Sn＝＝2n＋1－2.答案：8 2n＋1－29．(2022·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质知a5＝a2q3，求得q＝，所以a1＝4.a2a3＝＝a1a2，anan＋1＝＝an－1an(n≥2)．设bn＝anan＋1，可以得出数列{bn}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1为数列{bn}的前n项和，由等比数列前n项和公式得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．答案：(1－4－n)10．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________．解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.答案：15011．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.4\n(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得所以a1＝0，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4.因为a4＝6，所以q＝2或q＝－3.因为等比数列{bn}的各项均为正数，所以q＝2.所以{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )A．2B.C.D．3解析：选B.由等比数列的性质得：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由已知得S6＝3S3，所以＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，所以＝.2．(2022·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0，因为q≠1，所以q＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝·3n＝，Tn＝×＝.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求an与bn；4\n(2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．解：(1)由已知可得所以q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍去)，从而a2＝6，所以an＝3n，bn＝3n－1.(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n.由题意，cn＋1>cn对任意的n∈N*恒成立，即3n＋1－λ·2n＋1>3n－λ·2n恒成立，亦即λ·2n<2·3n恒成立，即λ<2·恒成立．由于函数y＝是增函数，所以＝2×＝3，故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．4
