典型例题一例1比较与的大小，其中．解：，，，，∴．说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①；②；③．典型例题二例2比较与的大小，其中解：，，，，，∴当时，；当时，说明：12/12\n两个实数比较大小，通常用作差法来进展，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．典型例题三例3，比较与（）的大小．分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．解：∵=（），，∴．那么有时，（）恒成立．说明：有确实问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．典型例题四例4设，比较与的大小．解：作差，1）当时，即，∴；12/12\n2）当，即时，，∴；3）当但，即或时，，∴．说明：如此题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．典型例题五例5比较与的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解：说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进展．典型例题六例6 设，且，比较：与的大小。分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进展变形，然后确定大小。解：当时，，12/12\n当时，即，又，说明：求商法的根本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.典型例题七例7实数满足条件：①；②；③，那么有()A． B．C． D．（天津市2022年南开中学期末试题）分析：先由条件②③分析出与的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．解：∵，∴与同侧∵，∴与异侧∵∴把标在数轴上，只有下面一种情况由此得出，∴此题选D．说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．典型例题八12/12\n例8 已知①；②，求：的取值范围．分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进展：(1)利用待定系数法将代数式用和表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围．解：设：由①+②×2得：：．说明：此题的一种典型错误做法，如下：，即：：此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．防止出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．典型例题九例9 判断以下各命题的真假，并说明理由．（1）假设，那么12/12\n（2）假设，那么（3）假设，那么（4）假设，那么（5）假设，那么（6）假设，那么分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．解：（1），是真命题．（2）可用赋值法：，有，是假命题．也可这样说明：，∵ ，只能确定，但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有：（3）与（2）类似，由，从而是假命题．（4）取特殊值：有，∴ 是假命题．定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即12/12\n（5）， ∴是真命题．（6）定理4成立的条件为必须是正数．举反例：，那么有说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．典型例题十例10 求证：分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．证明：利用不等式的性质，得典型例题十一例11 假设，那么下面不等式中成立的一个是（ ）（A） （B）（C） （D）解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D） 正是异向不等式相减的结果．12/12\n说明：本的解法都是不等式性质的根本应用，对于不等式的根本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．典型例题十二例12 假设，那么下面各式中恒成立的是（ ）．（A） （B）（C） （D）分析 此题考察是否能正确使用不等式的性质来进展变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，，继而得到且，故，因此选A．典型例题十三例13假设，那么一定成立的不等式是（ ）A．B．C．D．分析：A错，当时有；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．应选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是），原不等式成立．说明：这类题可以采用特例法：令即得C成立．典型例题十四例14 已知：，求证：．12/12\n分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项为哪一项两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．证明：又∴由同向加性可得：．说明：此题还可采用异向减性来处理：做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．典型例题十五例15已知集合求：．分析：要求，需要先求集合和，从已知来看，的范围容易求，的元素由可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．解：说明：此题中的条件，意在明确集合中的元素为，假设去掉此条件，会出现不确定的情况．比方，的实数和12/12\n的整数显然是有区别的．另外，这里集合的元素是通过集合的元素求出的，解题时，一定要看清．典型例题十六例16设和都是非零实数，求不等式和同时成立的充要条件．分析：此题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，那么成立的条件就是本身；而成立的条件那么是与同号，且，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．解：先求，同时成立的必要条件，即当，同时成立时，与应具备什么条件．由，得由可知，再由知，即与异号，因此是不等式与同时成立的必要条件．再求，同时成立的充分条件．事实上，当时，必有，且，因而成立．从而是不等式，同时成立的充分条件．因此，两个不等式，同时成立的充要条件是．说明：此题结果说明，与同时成立，其充要条件是为正数，为负数．这与成立的条件，不要混淆．解此题是从必要条件入手的，即假设，同时成立，那么要研究从不等式和12/12\n看与的大小有什么关系，从中得出结论（），再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否同时成立．从而解决了此题．典型例题十七例17 已知函数满足：那么应满足（ ）（A） （B）（C） （D）分析：如果能用与将“线性”表示出：，就可利用不等式的根本性质，由、的取值范围，推出满足的条件．解：∵∴故 由不等式的根本性质，得应选（C）.说明：（1）也可设，由代定系数法求得，．（2）下面的错误是值得引以为戒的∵12/12\n 又 ∴ 应选（A）上述推理错误产生的原因是由于将条件化为使、的取值范围扩大所致．事实上，作为点集与之间的关系是，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了，提醒了上述解法的错误．12/12
