高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结九、直线、平面、简单多面体1、三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①假设A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，那么lα；②假设A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，那么α∩β＝AB；③假设lα ，A∈l，那么Aα ④假设A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，那么α与β重合。上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，那么M点的轨迹图形的面积为_______（答：24）2、直观图的画法（斜二侧画法规那么）：在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如以以下图的一个正方形，那么原来图形的形状是（ ）（答：A）（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_____（答：）3、空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，那么直线EG和FH的位置关系_____（答：相交）；（2）给出以下四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。其中正确的命题是_____（答：①③）4、异面直线的判定：反证法。如（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β10/10\n且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α ；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立。上述结论中，正确的选项是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，那么MN与a的大小关系是_____（答：MN<a）；（3）假设E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，那么AC2+BD2=_____（答：50）；（4）如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，以下四个结论：①过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都相交； ②过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都垂直；③过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行； ④过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都平行。其中正确的结论是_____（答：②）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____（答：24）；（6）已知平面求证：b、c是异面直线．5、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，那么OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，那么过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）假设异面直线所成的角为，且直线，那么异面直线所成角的范围是____（答：）；6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，那么由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线有____条（答：1）；7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）以下命题中，正确的选项是Ａ、假设直线平行于平面内的一条直线b,那么// 10/10\nＢ、假设直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，那么⊥b Ｃ、假设直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，那么与b是异面直线 Ｄ、假设一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，那么它一定是正棱锥（答：D）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是___________（答：线段B1C）。10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：假设两个平面平行，那么其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）α、β表示平面，a、b表示直线，那么a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β，a⊥β B、α∩β＝b，且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且aβ（答：D）；（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“假设∥z，那么”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，以下条件中能得出直线a⊥平面α的是 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα B、a⊥b，ｂ∥α C、α⊥β，ａ∥β D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）；（3）AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF。12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，那么AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，那么棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；（3）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，那么直线与平面所成角的余弦值为______（答：10/10\n）；（4）假设一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，那么sinθ的值为______（答：）。14、平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线。15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1）是两个不重合的平面，在以下条件中，不能判定平面的条件是A、是内一个三角形的两条边，且 B、内有不共线的三点到的距离都相等 C、都垂直于同一条直线 D、是两条异面直线，，且（答：B）；（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，那么这两个平面平行。其中正确的序号是___________（答：①③⑤）；（3）正方体ABCD-A１B１C１D１中AB=。①求证：平面AD1B1∥平面C1DB；②求证：A1C⊥平面AD1B1；③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离（答：）；16、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，那么垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________（答：）；（2）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，那么二面角A-BD-C的余弦值是______（答：）；（3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，那么二面角C1—BD1—B1的大小为______（答：）；（4）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，那么二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）；（5）二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，假设AB=AC=BD=1，那么CD的长______（答：2）；（6）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，那么面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为______（答：）。10/10\n17、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，那么OP的长为_____（答：5）；（2）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD（答：）；（3）过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC＝90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的根本思路是利用线面关系的转化，即：如（1）已知直线平面，直线平面，给出以下四个命题：①②；③；④。其中正确的命题是_____（答：①③）；（2）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出以下四个命题：①假设那么；②假设，那么；③假设，那么或；④假设那么。其中正确的命题是_____（答：①③④）18、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原那么）（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。如已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，那么异面直线BD与B1C的距离为_____（答：）。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。如（1）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_____（答：）；（2）点P是120°的二面角α--β内的一点，点P到α、β的距离分别是3、4，那么P到的距离为 _______（答：）；（3）在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到棱A1B1与棱BC的距离相等，那么动点P所在曲线的形状为_______（答：抛物线弧）。（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。如（1）长方体的棱，那么点到平面10/10\n 的距离等于______（答：）；（2）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，那么A1到平面MBD的距离为______（答：a）。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长。如（1）设地球半径为，在北纬圈上有两地，它们的纬度圈上的弧长等于，求两地间的球面距离（答：）；（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3点的小圆的周长为，那么这个球的半径为______（答：）；（3）三棱锥的三个侧面两两垂直，，假设四个点都在同一球面上，那么此球面上两点A、B之间的球面距离是_________（答：）。19、多面体有关概念：（1）多面体：由假设干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。20、棱柱：（1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；（2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。如（1）斜三棱柱A1B1C1－ABC，各棱长为，A1B=A1C=，那么侧面BCC1B1是____形，棱柱的高为_____（答：正方；）；（2）以下关于四棱柱的四个命题：①假设有两个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直棱柱；②假设两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，那么该四棱柱为直棱柱；③假设四个侧面两两全等，那么该四棱柱为直棱柱；④假设四棱柱的四条对角线两两相等，那么该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_____（答：②④）。21、平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体：{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；（3）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；10/10\n④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长方体三度之和为a+b+c＝6，全面积为11，那么其对角线为_____（答：5）22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如假设一个锥体被平行于底面的平面所截，假设截面面积是底面积的，那么锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____（答：1∶8）23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体中，有如下命题：①假设，那么；②假设分别是的中点，那么的大小等于异面直线与所成角的大小；③假设点是四面体外接球的球心，那么在面上的射影是外心；④假设四个面是全等的三角形，那么为正四面体。其中正确的选项是___（答：①③）（2）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。如（1）在三棱锥的四个面中，最多有___个面为直角三角形（答：4）；（2）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，那么上层小球最高处离桌面的距离为________（答：）。24、侧面积（各个侧面面积之和）：（1）棱柱：侧面积＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积＝底面周长×侧棱长。如（1）长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，那么此长方体的侧面积为______（答：）；（2）斜三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角C-A1A-B为120°，侧棱AA1于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，AA1=12cm，那么斜三棱柱的侧面积为______（答：）；（3）假设斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，那么该三棱柱的侧面积为______（答：120）。（2）正棱锥：正棱锥的侧面积＝×底面周长×斜高。如（1）已知正四棱锥P－ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，那么该正四棱锥的侧面积是_______（答：）；（2）已知正四面体ABCD的外表积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的外表积为T，那么等于______（答：）。10/10\n提醒：全面积（也称外表积）是各个外外表积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。25、体积：（1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。如（1）设长方体的三条棱长分别为a、b、c，假设长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，那么等于__（答：）；（2）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，那么棱柱的侧面积为___，体积为___（答：；）。（2）棱锥：体积＝×底面积×高。如（1）已知棱长为1的正方体容器ABCD—A1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔，假设此容器可以任意放置，那么装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_____（答：）；（2）在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，假设BC=，那么正三棱锥A-BCD的体积为__（答：）；（3）已知正三棱锥底面边长为，体积为，那么底面三角形的中心到侧面的距离为___（答：）；（4）在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，那么。类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，那么结论为______________（答：）．特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是（答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.如（1）用平面去截三棱锥，与三条侧棱交于三点，假设，10/10\n，那么多面体的体积为_____（答：7）；（2）直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且AP=C1Q，那么四棱锥B—APQC的体积为（答：）；（3）如图的多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，那么该多面体的体积为________（答：4）。26、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如以以下图：正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体27、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。如（1）在半径为10的球面上有三点，如果，那么球心到平面的距离为______（答：）；（2）已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，那么球心到平面ABC的距离为______（答：12）28、球的体积和外表积公式：V＝。如（1）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm2、400cm2，那么球的外表积为______（答：）；（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的外表积与体积。（答：外表积，体积）；（3）已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，那么的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为______（答：）；29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。如（1）甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，那么甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____（答：1∶2∶3）；（2）假设正四面体的棱长为，那么此正四面体的外接球的外表积为_____（答：10/10\n）；（3）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，那么这一正三棱柱的体积是_____（答：）；（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。如已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，那么的最小值是_____（答：）；30、你熟悉以下结论吗？⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；⑵从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，假设∠AOB=∠AOC，那么点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；⑶AB和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影成，设∠BAC=,那么coscos=cos；⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；⑸假设长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，那么cos2+cos2+cos2=1；假设长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为那么cos2+cos2+cos2=2。如（1）长方体中假设一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，那么与第三个面所成的角为____________（答：30°）；（2）假设一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，那么的关系为____________。（答：）⑹假设正棱锥的侧面与底面所成的角为，那么。如假设正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为，那么这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于__（答：）⑺在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心.提醒：③假设顶点在底面上的射影在底面三角形外，那么顶点在底上射影为底面的旁心。⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。10/10
