第2讲圆周运动及其应用1.图4－2－11在观看双人把戏滑冰表演时，观众有时会看到女运发动被男运发动拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运发动的男运发动的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为g＝10m/s2，假设已知女运发动的体重为35kg，据此可估算该女运发动( )A．受到的拉力约为350NB．受到的拉力约为350NC．向心加速度约为10m/s2D．向心加速度约为10m/s2解析：此题考察了匀速圆周运动的动力学分析．以女运发动为研究对象，受力分析如图．根据题意有G＝mg＝350N；那么由图易得女运发动受到的拉力约为350N，A正确；向心加速度约为10m/s2，C正确．答案：AC2.图4－2－12中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图4－2－12所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的选项是( )A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动C．公路在设计上可能内(东)高外(西)低D．公路在设计上可能外(西)高内(东)低解析：由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，应选项A正确，选项B错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，那么卡车不会做离心运动，也不会发生事故，应选项C正确．答案：AC3.8/8\n图4－2－13(2022·湖北局部重点中学联考)如图4－2－13所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，那么( )A．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2πB．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2πC．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mgD．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于2mg解析：要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，那么有mg＝，解得该盒子做匀速圆周运动的速度v＝，该盒子做匀速圆周运动的周期为T＝＝2π.选项A错误，B正确；在最低点时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由F－mg＝，解得F＝2mg，选项C、D错误．答案：B4.图4－2－14如图4－2－14所示，半径为r＝20cm的两圆柱体A和B，靠电动机带动按相同方向均以角速度ω＝8rad/s转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心在刚开场运动时恰在B的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间的距离s＝1.6m，棒长l>2m，重力加速度取10m/s2，求从棒开场运动到重心恰在A正上方需多长时间？解析：棒开场与A、B两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度v＝ωr＝8×0.2m/s＝1.6m/s，加速度a＝μg＝1.6m/s2，时间t1＝＝1s，此时间内棒运动位移s1＝at＝0.8m．此后棒与A、B无相对运动，棒以v＝ωr做匀速运动，再运动s2＝AB－s1＝0.8m，重心到A正上方时间t2＝＝0.5s，故所求时间t＝t1＋t2＝1.5s.答案：1.5s5．8/8\n图4－2－15在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图4－2－15甲所示．某时刻开场收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝10m/s2.(1)求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小．(2)求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小．(3)直升机在t＝5s时停顿收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到平安处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的平安目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)解析：(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a＝2m/s2的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得悬索的拉力F＝m(g＋a)＝600N.(2)被困人员5s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10m/s，合速度v＝＝10m/s，竖直方向上的位移y＝at2＝25m，水平方向的位移x＝v0t＝50m，合位移s＝＝25m.(3)t＝5s时悬索的长度l′＝50－y＝25m，旋转半径r＝l′sin37°，由m＝mgtan37°，解得v′＝m/s.此时被困人员B的受力情况如右图所示，由图可知Tcos37°＝mg，解得T＝＝625N.答案：(1)600N (2)10m/s 25m (3)625N1.图4－2－16图示4－2－16所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．以下说法正确的选项是( ) A．从动轮做顺时针转动B．从动轮做逆时针转动C．从动轮的转速为nD．从动轮的转速为n解析：此题考察的知识点是圆周运动．因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，选项A错误B正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得从动轮的转速为n2＝，选项C正确D错误．答案：BC2.8/8\n图4－2－17质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图4－2－17所示，那么( )A．因为速率不变，所以石块的加速度为零B．石块下滑过程中受的合外力越来越大C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心，D对，A错．由F合＝F向＝ma向知合外力大小不变，B错，又因石块在运动方向(切线方向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减小，C错．答案：D3.图4－2－182022年4月28日凌晨，山东境内发生两列列车相撞事故，造成了大量人员伤亡和财产损失．引发事故的主要原因是其中一列列车转弯时超速行驶．如图4－2－18所示，是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5km，那么质量为75kg的乘客在列车转弯过程中所受到的合外力为( )A．500NB．1000NC．500ND．0解析：360km/h＝100m/s，乘客在列车转弯过程中所受的合外力提供向心力F＝＝75×N＝500N.答案：A4.图4－2－19如图4－2－19甲所示，一根细线上端固定在S点，下端连一小铁球A，让小铁球在水平面内做匀速圆周运动，此装置构成一圆锥摆(不计空气阻力)．以下说法中正确的选项是( )A．小球做匀速圆周运动时，受到重力、绳子的拉力和向心力作用B．小球做匀速圆周运动时的角速度一定大于(l为摆长)C．另有一个圆锥摆，摆长更大一点，两者悬点相同，如图4－2－19乙所示，如果改变两小球的角速度，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，那么B球的角速度大于A球的角速度D．如果两个小球的质量相等，那么在图乙中两条细线受到的拉力相等解析：如以以下图所示，小铁球做匀速圆周运动时，只受到重力和绳子的拉力，而向心力8/8\n是由重力和拉力的合力提供的，故A项错误．根据牛顿第二定律和向心力公式可得：mgtanθ＝mlω2sinθ，即ω＝.当小铁球做匀速圆周运动时，θ一定大于零，即cosθ一定小于1，因此，当小铁球做匀速圆周运动时角速度一定大于，故B项正确．设点S到点O的距离为h，那么mgtanθ＝mhω2tanθ，即ω＝，假设两圆锥摆的悬点相同，且两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动时，它们的角速度大小一定相等，即C项错误．如右上图所示，细线受到的拉力大小为FT＝，当两个小球的质量相等时，由于θA＜θB，即cosθA＞cosθB，所示A球受到的拉力小于B球受到的拉力，进而可以判断两条细线受到的拉力大小不相等，故D项错误．答案：B5．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的选项是( )A．Ff甲小于Ff乙B．Ff甲等于Ff乙C．Ff甲大于Ff乙D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关解析：此题重点考察的是匀速圆周运动中向心力的知识．根据题中的条件可知，两车在水平面做匀速圆周运动，那么地面对车的摩擦力来提供其做圆周运动的向心力，那么F向＝f，又有向心力的表达式F向＝，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此轨道半径大的车的向心力小，即摩擦力小，A正确．答案：A6.图4－2－20在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图4－2－20所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，那么汽车转弯时的车速应等于( )A.B.C.D.解析：考察向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtanθ，根据牛顿第二定律：F向＝m，tanθ＝，解得汽车转弯时的车速v＝，B对．答案：B7.图4－2－21(2022·衡水模拟)如图4－2－21所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40cm，细线ac长8/8\n50cm，bc长30cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动过程中，以下说法不正确的选项是( )A．转速小时，ac受拉力，bc松弛B．bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mgC．bc拉直后转速增大，ac拉力不变D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大答案：D8.图4－2－22如图4－2－22所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，那么只要运动角速度适宜，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．那么在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的选项是( )A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心C．此时手转动塑料管的角速度ω＝D．假设杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动解析：由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，那么竖直方向上重力与摩擦力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，选项A正确、BC错误；无论杆的转动速度增大多少，但竖直方向受力平衡，应选项D错误．答案：A9.图4－2－23如图4－2－23所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，那么以下说法中正确的选项是( )A．轨道对小球做正功，小球的线速度vP>vQB．轨道对小球不做功，小球的角速度ωP<ωQC．小球的向心加速度aP>aQD．轨道对小球的压力FP>FQ解析：此题考察圆周运动和机械能守恒，中档题．轨道光滑，小球在运动的过程中只受重力和支持力，支持力时刻与运动方向垂直所以不做功，A错；那么在整个过程中只有重力做功满足机械能守恒，根据机械能守恒有vP<vQ，在P、Q两点对应的轨道半径rP>rQ，根据ω＝，a＝，得小球在P点的角速度小于在Q点的角速度，B正确；在P点的向心加速度小于在Q点的向心加速度，C错；小球在P和Q两点的向心力由重力和支持力提供，即mg＋FN＝ma向，可得P点对小球的支持力小于Q点对小球的支持力，D错．答案：B10.8/8\n图4－2－24如图4－2－24所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，那么以下说法正确的选项是( )A．小物块所受合外力指向O点B．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用C．当转动角速度ω>时，小物块受摩擦力沿AO方向D．当转动角速度ω<时，小物块受摩擦力沿AO方向解析：匀速圆周运动物体所受合外力提供向心力，指向物体圆周运动轨迹的圆心，A项错；当小物块在A点随圆锥筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，小物块在筒壁A点时受到重力和支持力的作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω，有：mgtanθ＝mω2·，由几何关系得：tanθ＝，联立以上各式解得ω＝，B项正确；当角速度变大时，小物块所需向心力增大，故摩擦力沿AO方向，其水平方向分力提供局部向心力，C项正确；当角速度变小时，小物块所需向心力减小，故摩擦力沿OA方向，抵消局部支持力的水平分力，D项错．答案：BC11.图4－2－25如图4－2－25所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为mA、mB的A、B两小球，两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面中心重合，已知mA＝0.5kg，L＝1.2m，LAO＝0.8m，a＝2.1m，h＝1.25m，A球的速度大小vA＝0.4m/s，重力加速度g取10m/s2，求：(1)绳子上的拉力F以及B球的质量mB；(2)假设当绳子与MN平行时突然断开，那么经过1.5s两球的水平距离；(3)两小球落至地面时，落点间的距离．解析：(1)F＝mA＝0.5×N＝0.1N，由F＝mAω2LOA＝mBω2LOB得mB＝mA＝1kg.(2)x＝(vA＋vB)t1＝0.6×1.5m＝0.9m，水平距离为s＝＝m＝1.5m.(3)t2＝＝s＝0.5s，x′＝(vA＋vB)t2＋a＝0.6×0.5m＋2.1m＝2.4m距离为s′＝＝m＝m.答案：(1)1kg (2)1.5m (3)m8/8\n12．图4－2－26如图4－2－26所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开场时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，假设正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g)，求：(1)小球从圆弧轨道上释放时的高度为H；(2)转筒转动的角速度ω.解析：(1)设小球离开轨道进入小孔的时间为t，那么由平抛运动规律得h＝gt2，L－R＝v0t小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有mgH＝mv联立解得：t＝，H＝.(2)在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔，即ωt＝2nπ(n＝1,2,3…)．所以ω＝nπ(n＝1,2,3…)答案：(1) (2)nπ(n＝1,2,3…)8/8
