新课标2022年高考考前教材回归十二圆周运动万有引力与航天1．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )A．密度 B．质量C．半径D．自转周期[答案] A[解析] “嫦娥二号”在近月轨道运行，其轨道半径约为月球半径，由＝mR及ρ＝，V＝πR3可求得月球密度ρ＝，但不能求出质量和半径，A项正确，B、C项错误；公式中T为“嫦娥二号”绕月运行周期，月球自转周期无法求出，D项错误．2．卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为3×108m/s.)( )A．0.1s B．0.25s C．0.5s D．1s[答案] B[解析] 由G＝mr()2得，r3＝·T2，则＝，即r同＝·r月；同步卫星的周期T同＝1天，上式代入数据得，r同＝4.2×107m；则t＝＝0.24s，选项B正确．3．如图所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的是( )-8-\nA．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小[答案] AD[解析] 小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝，即v0＝，选项A正确B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v＝，则最低点时的角速度ω＝＝，选项D正确而C错误．4．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( )A．卫星距地面的高度为B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为GD．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度[答案] BD[解析] 卫星受到的万有引力提供向心力，大小为G，选项C错误；由G＝m(R＋h)可得卫星距地面的高度h＝－R，选项A错误；由G＝m可得卫星的运行速度v＝，而第一宇宙速度v1＝，选项B正确．由G＝ma可得卫星的向心加速度a＝，而地球表面的重力加速度g＝，选项D正确．5．如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形光滑轨道，轨道的半径都是R.轨道端点所在的水平线相隔一定的距离x.一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为v.小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为ΔF(ΔF>0)，不计空气阻力．则( )-8-\nA．m、x一定时，R越大，ΔF一定越大B．m、x一定时，v越大，ΔF一定越大C．m、R一定时，x越大，ΔF一定越大D．m、R一定时，v越大，ΔF一定越大[答案] C[解析] 小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前离开了圆形轨道，m、R一定时，x越大，小球到达最高点A时的速度越小，小球在最低点B与最高点A时轨道的压力之差ΔF一定越大，C正确．6．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A．线速度v＝B．角速度ω＝C．运行周期T＝2πD．向心加速度a＝[答案] AC[解析] 月球对航天器的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有＝＝mω2R＝m＝ma，又万有引力等于重力，即＝m′g，可得v＝，ω＝＝，T＝2π，a＝g＝，选项A、C正确．7．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图(a)所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )-8-\nA.B.C.D.[答案] C[解析] 物体抛出后在最高点的加速度为g，水平速度为v0cosα，由a＝得g＝，故P点曲率半径ρ＝，C项正确．8．为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则( )A．X星球的质量为M＝B．X星球表面的重力加速度为gx＝C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1[答案] AD[解析] 选飞船为研究对象，则＝m1，解得X星球的质量为M＝，选项A正确；飞船的向心加速度为a＝，不等于X星球表面的加速度，选项B错误；登陆舱在r1的轨道上运动时满足：＝m2，＝m2，登陆舱在r2的轨道上运动时满足：＝m2，＝m2.由上述公式联立可解得：＝，＝，所以选项C错误，选项D正确．9．一行星绕恒星作圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则( )-8-\nA．恒星的质量为B．行星的质量为C．行星运动的轨道半径为D．行星运动的加速度为[答案] ACD[解析] 对行星：＝mr，T＝，解得：M＝，r＝，a＝＝，选项A、C、D正确．10．如图所示，用长为L的轻绳把一个铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有( )A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为5mgB．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mgC．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为D．若小铁球运动到最低点轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L[答案] C[解析] 小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，说明小铁球在最高点B处，轻绳的拉力最小为零，mg＝mv2/L，v＝；由机械能守恒定律得，小铁球运动到最低点时动能mv12/2＝mv2/2＋mg·2L，在最低点轻绳的拉力最大，由牛顿第二定律F－mg＝mv12/L，联立解得轻绳的拉力最大为F＝6mg；选项A、B错误；以地面为重力势能参考平面，小铁球在B点处的总机械能为mg·3L＋mv2＝mgL，无论轻绳是在何处断开，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能mv′2＝mgL，落到地面时的速度大小为v′＝，选项C正确；小铁球运动到最低点时速度v1＝，由s＝v1t，L＝gt2，联立解得小铁球落到地面时的水平位移为s＝L，选项D错误．11、(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a-8-\n的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太．(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)[答案] (1)k＝ (2)6×1024kg[解析] (1)G＝ma，又k＝，故k＝(2)G＝m月r，M地＝，代入数值解得：M地＝6×1024kg.12．如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L.现使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点的速度为v时，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点速率为2v，则此时每段线中张力为多大？(重力加速度为g)[答案] mg[解析] 当速率为v时，满足mg＝当速率为2v时，满足mg＋F＝得F＝3mg则设每根线上的张力为T，满足：2Tcos＝3mg即T＝mg.13．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．(1)求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；(3)由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出密度表达式．-8-\n[答案] (1) (2) (3)ρ＝[解析] (1)设卫星的质量为m,地球的质量为M物体在地球表面附近满足G＝mg①第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力G＝m②①式代入②式，得到v1＝(2)卫星受到的万有引力为G＝m()2r③由①③式解得r＝(3)设质量为m的小物体在地球表面附近所受重力为mg则G＝mg将地球看成是半径为R的球体，其体积为VV＝πR3地球的平均密度为ρ＝＝14．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6.(取g＝10m/s2)(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，拐弯时不产生横向滑动，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速路上设计了圆弧形拱桥做立交桥，要使汽车能够不离开地面安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径应满足什么条件？[答案] (1)150m (2)R>90m[解析] (1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的静摩擦力，有mv2/r≤0.6mg由速度v＝30m/s，得弯道半径r≥150m；故弯道的最小半径是150m(2)汽车过拱桥，可视为在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有mv2/R＝mg－FN-8-\n为了保证安全，车对路面的压力FN必须大于零-8-
