课后限时集训(十八) 导数的概念及运算建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋D．f(x)＝ex＋xBC [根据题意，依次分析选项：对于A，f′(x)＝－3sinx，为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．对于B，f′(x)＝3x2＋1，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意．对于C，f′(x)＝1－，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意．对于D，f′(x)＝ex＋1，不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．]2．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )A.B．C.D．－2C [因为f′(x)＝f′(1)·2xln2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln2＋2x，所以f′(2)＝×22ln2＋2×2＝.]3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B．1秒末和2秒末C．4秒末D．2秒末和4秒末D [∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]4．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在x＝0处有公切线，则a＋b＝( )A．－1B．0C．1D．2C [由题意得f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，∴b＝0.又f(0)＝g(0)，即a＝1，∴a＋b＝1.]\n5．(2020·重庆八中月考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2，则铯137含量M在t＝30时的瞬间变化率为( )A．－10ln2(太贝克/年)B．300ln2(太贝克/年)C．－300ln2(太贝克/年)D．300(太贝克/年)A [依题意，M(t)＝600·2，∴M′(t)＝－×600×2ln2＝－20×2ln2，∴铯137含量M在t＝30时的瞬间变化率为M′(30)＝－20×2－1ln2＝－10ln2(太贝克/年)，故选A.]6．(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为( )A．－2B．2C．－eD．eB [函数f(x)＝xlnx的导数为f′(x)＝lnx＋1，设切点为(m，n)，可得切线的斜率k＝1＋lnm，则1＋lnm＝＝，解得m＝e，故k＝1＋lne＝2.]二、填空题7．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2020)＝6，则f′(－2020)＝______.8 [因为f′(x)＝4ax3－bsinx＋7，所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsinx＋7.所以f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2020)＝6，所以f′(－2020)＝14－6＝8.]8．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．y＝2x [设切点坐标为(x0，lnx0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.]9．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________．(1，－1)或(－1,1) [由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或\n所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1,1)．]三、解答题10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．[解] (1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.故α的取值范围为∪.11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．[解] f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意，得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以a的取值范围为∪.1．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D\n上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是( )A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝x3＋2x－1D．f(x)＝xexAB [对于A：f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函数，故A正确．对于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数，故B正确；对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误．故选AB.]2．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．(－∞，0) [由题意知，f(x)的定义域(0，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]3．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)若曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋1，所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13.所以所求的切线方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又因为直线l过点(0,0)，所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，所以x0＝－2，\n所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，直线l的斜率k＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.所以或即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18或y＝4x－14.
