第二章 函数、导数及其应用第六节 幂函数、二次函数课时规范练A组——基础对点练1．幂函数y＝f(x)的图像经过点(3，)，则f(x)是( )A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：设幂函数f(x)＝xα，代入点(3，)，得：＝3α，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．答案：C2．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c解析：因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.答案：D3．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( )A．f(x)＝x2－2x＋1B．f(x)＝x2－1C．f(x)＝2xD．f(x)＝2x＋1解析：由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图像的对称轴为x＝≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，而f(x)＝x2－1；f(x)＝2x；f(x)＝2x＋1都不满足题意，故选A.答案：A4．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为( )\nA．－1＜m＜0＜n＜1B．－1＜n＜0＜mC．－1＜m＜0＜nD．－1＜n＜0＜m＜1解析：幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图像上凸，∴0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图像可得2－1＜2n，∴－1＜n＜0，综上所述，故选D.答案：D5．命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )A．a＜0或a≥3B．a≤0或a≥3C．a＜0或a＞3D．0＜a＜3解析：若ax2－2ax＋3＞0恒成立，则a＝0或可得0≤a＜3，故当命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题时，a＜0或a≥3.答案：A6．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图像是( )解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．故选D.答案：D7．已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“存在x∈R，x2＋2>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是( )A．p且q B．(非p)且q\nC．p且(非q)D．(非p)且(非q)答案：C8．已知0<m<n<1，且1<a<b，下列各式中一定成立的是( )A．bm>anB．bm<anC．mb>naD．mb<na解析：∵f(x)＝xa(a>1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m<n<1，∴ma<na，又∵g(x)＝mx(0<m<1)在R上为单调递减函数，且1<a<b，∴mb<ma.综上，mb<na，故选D.答案：D9．若x＞1，xa－1＜1，则a的取值范围是________．解析：因为x＞1，xa－1＜1，所以a－1＜0，解得a＜1.答案：(－∞，1)10．设函数f(x)＝则使得f(x)≤4成立的x的取值范围是________．解析：f(x)的图像如图所示，要使f(x)≤4，只需x≤4，∴x≤64.答案：(－∞，64]B组——素养提升练11．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( )A．①B．②C．③D．④\n解析：f(x)＝x－1只满足(2)；f(x)＝x3只满足(3)；f(x)＝x只满足(3)．f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但是其值域是{y|y＞0}．故选B.答案：B12．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )A．[0，4]B．C.D．解析：如图，二次函数图像的对称轴为x＝，则f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图像得m∈.答案：D13．已知α∈，a＝(cosα)cosα，b＝(sinα)cosα，c＝(cosα)sinα，则( )A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b解析：因为α∈，所以0＜cosα＜，cosα＜sinα，根据幂函数的性质，可得(sinα)cosα＞(cosα)cosα，根据指数函数的性质，可得(cosα)cosα＞(cosα)sinα，所以c＜a＜b，故选D.答案：D14．(2020·保定模拟)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x)＝＋1，则h(2018)＋h(2017)＋h(2016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2016)＋h(－2017)＋h(－2018)＝( )\nA．0B．1C．4036D．4037解析：因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数，所以f(x)＝x2，所以h(x)＝＋1，因为g(x)是R上的奇函数，所以h(x)＋h(－x)＝＋1＋＋1＝2，h(0)＝＋1＝1，因此h(2018)＋h(2017)＋h(2016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2016)＋h(－2017)＋h(－2018)＝2018×2＋1＝4037，选D.答案：D15．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图像的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a，而f(x)在[2，＋∞)上为减函数，由f(a)≥f(0)得f(a)≥f(4)，∴a≤4，综上有0≤a≤4.答案：[0，4]16．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的最小值是________．解析：由题意可得，原不等式转化为f(x)min≥g(x)min，显然，f(x)在区间[0，1]上是单调递增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，当a＜1时，g(x)min＝g(1)＝5－2a≤－1，解得a≥3，与a＜1矛盾，舍去，当a＞2时，g(x)min＝g(2)＝8－4a≤－1，解得a≥，所以a≥，当1≤a≤2时，g(x)min＝g(a)＝4－a2≤－1，解得≤a或a≤－，与1≤a≤2矛盾，舍去．综上所述，a≥，所以实数a的最小值是.答案：
