课时规范练23 正弦、余弦定理与解三角形 基础巩固组1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=( )A.12B.1C.3D.22.(2020陕西西安中学八模,理9)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,则ab=( )A.32B.43C.2D.33.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形4.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=( )A.31010B.1010C.-1010D.-310105.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为( )A.7.5B.7C.6D.56.(2020山东菏泽一中月考,9改编)在△ABC中,给出下列4个命题,其中不正确的命题是( )A.若A<B,则sinA<sinBB.若sinA<sinB,则A<BC.若A>B,则1sin2A>1sin2BD.若A<B,则cos2A>cos2B7.(2020湖南郴州二模,文15)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=2,b=1,cosC=14.则△ABC的中线AD的长为 . 8.如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα= . 综合提升组\n9.(2020河北保定一模,理6)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,若△ABC外接圆的半径为1,则b=( )A.32B.2C.3D.210.(2020湖南常德一模,文9)已知在△ABC中,B=3π4,AB=1,角A的平分线AD=2,则AC=( )A.3B.23C.3+1D.3+311.(2020河南开封三模,理16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=33,tanA=2tanB,则cosA= ,△ABC的面积为 . 创新应用组12.(2020江苏,13)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+32-mPC(m为常数),则CD的长度是 . 13.(2020全国1,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB= . 参考答案课时规范练23 正弦、余弦定理与解三角形1.B 由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.\n2.D bsin2A=asinB,则sinB·2sinAcosA=sinAsinB,因为sinAsinB≠0,故cosA=12,且A∈(0,π),故A=π3.由c=2b,得sinC=2sinB=2sin23π-C,化简整理得到cosC=0,且C∈(0,π),故C=π2,B=π6,ab=sinAsinB=3212=3.故选D.3.C 因为sinAsinB=ac,所以ab=ac,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为A∈(0,π),所以A=π3,所以△ABC是等边三角形.4.C 如图,设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=2AD2+5AD2-9AD22×2AD×5AD=-1010,故选C.5.D ∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×a2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.C 若A<B,则a<b,由正弦定理得2RsinA<2RsinB,所以sinA<sinB,故A正确;同理B正确;当A=120°,B=30°时,1sin2A<0,1sin2B>0,故C错误;若A<B,则sinA<sinB,sin2A<sin2B,即1-cos2A<1-cos2B,所以cos2A>cos2B,故D正确.故选C.7.62 如图,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得4=a2+1-2a×1×14,解得a=2或a=-32(舍去),所以CD=12a=1.在△ACD中,AD2=12+12-2×1×1×14=32,解得AD=62.8.2315 在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=516,则sinα=23116,所以tanα=sinαcosα=2315.\n9.C 由题意,得2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理,得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,故cosB=12,则B=π3.又△ABC外接圆的半径为1,则b=2rsinB=3.故选C.10.C 在△ABD中,由正弦定理得1sin∠ADB=2sin∠B,所以sin∠ADB=sin∠B2=sin3π42=12,因为B=3π4,所以∠ADB=π6,∠BAD=π12,∠BAC=π6,∠ACB=π12,sinπ12=sinπ3-π4=sinπ3cosπ4-cosπ3sinπ4=6-24,在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠B,所以AC=ABsin∠Bsin∠ACB=1·sin3π4sinπ12=226-24=3+1.故选C.11.32 332 由正弦定理得bc=sinBsinC=sinBsin(A+B)=sinBsinAcosB+cosAsinB=tanBsinA+cosAtanB=233.将tanB=12tanA代入上式得cosA=32,故sinA=12.所以S△ABC=12bcsinA=12×2×33×12=332.12.185或0 如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则B(4,0),C(0,3).由PA=mPB+32-mPC,得PA=m(PA+AB)+32-m(PA+AC),整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).又AP=9,所以64m2+(6m-9)2=81,解得m=2725或m=0.当m=0时,PA=(0,-9),此时,C,D重合,CD=0;当m=2725时,直线PA的方程为y=9-6m8mx,直线BC的方程为x4+y3=1,联立两直线方程可得x=83m,y=3-2m.即D7225,2125,\n∴CD=72252+2125-32=185.∴CD的长度是185或0.13.-14 由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.∵D,E,F重合于一点P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC2+CF2-BF22BC·CF=22+12-(6)22×2×1=-14.
