云南省昆明市2013届高考数学适应性月考卷（七）试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积，为高锥体体积公式其中为底面面积，为高球的表面积，体积公式，其中为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中，真命题是A．B．C．D．2．根据下表中的数据，可以判断函数的一个零点所在区间为，则＝01230.3712.727.3920.0912345A．2B．1C．0D．-13．已知、为实数，复数，则A．B．C．D．4．将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧视图为A．B．C．D．5．若抛物线的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为15\n开始结束输入输入否是A．B．C．或D．6．若，，则＝A．B．C．D．7．执行如图2所示的程序框图，如果输入，那么输出的值为A．5B．4C．3D．28．已知函数，则且，有与的大小关系为A．B．C．D．不能确定9．已知是函数的一条对称轴，且的最大值为，则函数A．最大值是4，最小值是0B．最大值是2，最小值是－2C．最小值不可能是－4D．最大值可能是010．过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．11．已知定义在上的函数满足，且，，若数列的前项和等于，则＝A．7B．6C．5D．412．已知在半径为2的球面上有、、、四点，若，则四面体15\n的体积的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”应对对称中心．根据这一发现，则函数的对称中心为．14．观察下列各式：，，，，，…，则＝．15．在△中，若，，则△的面积的最大值为．16．若定义在上的函数满足，其中，且，则＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△中，角、、成等差数列，且．（1）求角、、；（2）设数列满足，前项为和，若，求的值．18．（本小题满分12分）一家化妆品公司于今年三八节期间在某社区举行了为期三天的“健康使用化妆品知识讲座”．每位社区居民可以在这三天中的任意一天参加任何一个讨论，也可以放弃任何一个讲座（规定：各个讲座达到预先设定的人数时称为满座）．统计数据表明，各个讲座各天满座的概率如下表：洗发水讲座洗面奶讲座护肤霜讲座活颜营养讲座面膜使用讲座15\n3月8日3月9日3月10日（1）求面膜使用讲座三天都不满座的概率；（2）设3月9日各个讲座满座的数目为，求随机变量的分布列和数学期望．ABCPDE19．（本小题满分12分）如图3，四棱锥的底面是正方形，⊥底面，点在棱上．（1）求证：平面⊥平面；（2）当且为的中点时，求与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）设为常数，已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．（1）设为函数的图像上任意一点，求点到直线的距离的最小值；（2）若对任意的且，恒成立，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，点、分别是椭圆的右、右顶点，若椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为，过点引圆的切线，求此切线的方程；（3）设为直线上的点，是圆上的任意一点，是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．15\n请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．ABCIDE22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图4，已知为锐角△的内心，且，点为内切圆与边的切点，过点作直线的垂线，垂足为．（1）求证：；（2）求的值．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）．（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数．（1）若，，求证：；（2）若实数满足．试求的取值范围．15\n云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）理科数学参考答案及详细解析第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBCCCDBADCBA【解析】1．当时，有成立，所以是真命题，故选C．2．由表可知，故，故选B．3．由题意知，因此，故选C．4．根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状，显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线，故选C．5．由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为，解得，所以当时，焦点坐标为；当时，焦点坐标为，故选C．6．由得，，故选D．7．根据框图的流程图逐步进行计算，满足循环体结束的条件，输出的结果为，故选B．8．，，所以，故选A．9．由的一条对称轴是，得，即，，15\n，所以或，故选D．10．由知，为线段的中点，设双曲线的右焦点为，因为，由中位线定理得，由双曲线的定义得，又，则，得，即，，故选C．11．由得，即为R上的减函数，所以，由，得，即，解得或，又，所以，故，数列即，其前项和为，整理得，解得，故选B．12．设AB，CD的中点分别为M，N，则球心O到AB和CD的距离是相等的，即，当OM，ON在同一直线上，且时，四面体ABCD的体积最大，，故选A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案1236【解析】13．由，得，所以此函数的对称中心为．14．从第3项起，每一项都是其前两项的和，从而递推出．15\n15．因为，所以，所以，又，即，故．当且仅当时，上式等号成立，故面积的最大值为6．16．在已知等式中，令得，又令得，再令得，即，亦即是以为公差的等差数列，且首项也是，所以，从而．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．又由，得，所以，所以，所以为直角三角形，．……………………………………（6分）（Ⅱ）=所以，由，得，所以，所以或．………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设面膜使用讲座三天都不满座为事件A，则．…………………………………………………（3分）（Ⅱ）的可能值为0，1，2，3，4，5，；15\n；；；；．………………………………………………………………（8分）列表如下：012345P．…………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，又，∴平面AEC⊥平面PDB．………………………………………（6分）（Ⅱ）方法一：如图1，设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∵O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE=PD，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，由PD=AB，设，则，，∴，于是，15\n即AE与平面PDB所成角的正弦值为．…………………………………………（12分）方法二：如图2，以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz，设，AE与平面PDB所成的角为，则，，，，于是，所以，且平面的法向量，所以，即AE与平面PDB所成角的正弦值为．…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵在区间上是增函数，∴当时，恒成立，即恒成立，所以．又在区间上是减函数，故当时，恒成立，即恒成立，所以．综上，．由，得，令，则，而，所以的图象上处的切线与直线平行，15\n所以所求距离的最小值为．………………………………………（6分）（Ⅱ）因为，则，因为当时，恒成立，所以，因为当时，，所以上是减函数，从而，所以当时，，即恒成立，所以．因为在上是减函数，所以，从而，即，故实数的取值范围是．………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，，所以椭圆的方程为，代入D点坐标，解得，由此得，所以椭圆的方程为．…………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故圆的方程为，15\n则由知，点在圆上，因为，所以切线的斜率为，故所求切线的方程为，即．…………………………………………………………………………（8分）（Ⅲ）设，假设存在点满足题意，则，点在圆C：上，，化简得，因为该式对任意的恒成立，则解得故存在定点对于直线上的点及圆上的任意一点使得成立．…………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：圆与边相切于点，⊥．…………………………………………………………………………（2分）又⊥，，，，，四点共圆，………………………………………………………（4分）15\n．……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：为锐角的内心，，，………………………………………………（6分）在中，．……………………………………………………………………（8分）⊥，在中，，．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线M可化为，，曲线N可化为，若曲线M，N只有一个公共点，则当直线N过点时满足要求，此时，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，当直线N过点时，此时，所以满足要求；再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立得，，求得，综上可求得t的取值范围是或．…………………………（5分）15\n（Ⅱ）当时，直线N：，设M上的点为，则曲线M上的点到直线N的距离为，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为．……………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：由，．……………………………………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知在上为增函数，，．当时，；当时，；当时，，综上所述，实数的取值范围为．………………………………………………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）双向细目表理科数学题号题型分值试题内容难易程度备注1选择题5分命题易2选择题5分函数零点易3选择题5分复数易15\n4选择题5分三视图易5选择题5分圆锥曲线易6选择题5分三角函数易7选择题5分程序框图中8选择题5分函数、不等式中9选择题5分三角函数中10选择题5分圆锥曲线中11选择题5分函数、数列中12选择题5分立体几何难13填空题5分函数易14填空题5分合情推理易15填空题5分向量中16填空题5分函数难17解答题12分解三角形、数列易18解答题12分概率易19解答题12分立体几何中20解答题12分导数应用中21解答题12分圆锥曲线难22解答题10分平面几何中23解答题10分参数方程中24解答题10分不等式中命题思想达成目标优秀率及格率平均分5%60%90～100检查双基的掌握情况，常规解题方法。突出体现数形结合、分类讨论、特值思想。15
