（全国卷Ⅱ）2021年高考数学压轴卷文（含解析）第I卷（选择题）一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，3.设复数z满足，则z的虚部为（）A.－2B.0C.－1D.14.函数的部分图象如图所示，则A.B.C.D.5.实数对满足不等式组，且目标函数当且仅当，时取最大值，则的取值范围为（）-19-\nA．B．C．D．6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，，点D满足，则()A－1B.C.D.18.“”是“直线与曲线有且只有一个公共点”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（）A.B.C.D.-19-\n10.已知等比数列{an}的各项均为正数,且,则()A.6B.9C.18D.8111.运行如图所示的程序框图若输出的s的值为55则在内应填入()A.B.C.D.12.若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量,,且,则m=________.14.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a(a为整数)即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是________．-19-\n15.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，若（O为坐标原点）的面积为，且双曲线C的离心率为，则m=__________．16.在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 ．三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答）(一).必做题17..已知等差数列{an}满足，前3项和.（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足，，求{bn}的前n项和.18.2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，某学校为响应国家号召，组织员工参与学习、答题，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况：学习时间（第天）345678当天得分172019242427先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检查.检查方法如下：先用求得的线性回归方程计算学习时间(第天)所对应的，再求与实际当天得分的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）从学习时间的6个数据中随机选取2个数据，求这2个数据不相邻的概率；-19-\n（2）若选取的是前面4组数据，求关于的线性回归方程，并判断是否是“恰当回归方程”；附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，前四组数据的.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E为侧棱PD上一点．（Ⅰ）求证：平面ABE；（II）求证：；（III）若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且，求四棱锥P-ABFE的体积．20.已知点M是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2分别为C的左右焦点，|F1F2|=2，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，是否存在直线l，使得△OAF2的面积与△OBF2的面积的比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数（）在处取得极值．（1）求的单调区间；-19-\n（2）讨论的零点个数，并说明理由．(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线(t为参数)上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：（1）求曲线C1，C2的直角坐标下普通方程；（2）已知点Q在曲线C2上，求的最小值以及取得最小值时P点坐标..23.已知函数＝．（1）当时，解不等式；（2）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．-19-\n2021新课标Ⅰ高考压轴卷数学（文）试卷答案1.【答案】C【解析】解:因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}.故选:C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及集合的运算，属于基础题.2.【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.3.【答案】C【解析】则的虚部为故选：C【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.5.【答案】A-19-\n【解析】作出可行域如图所示：，得到如图的及其内部，其中，，，设，将直线l：进行平移，可得直线在y轴上的截距为，因此直线在y轴上截距最小时目标函数z达到最大值，∵当且仅当l经过点时，目标函数z达到最大值，∴直线l的斜率应介于直线AC斜率与直线BC斜率之间，，，∴k的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点睛：本题给出二元一次不等式组，讨论目标函数的最大值有唯一最优解的问题，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识．6.【答案】D【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，-19-\n其中是边长为的正三角形，作平面与点，连接，交于点，则为的中点，、、，∴，故选：D7.【答案】A【解析】在Rt△ABC中，，所以为直角，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，，设，，，由，可得，-19-\n即，解得，，所以，由，所以.故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，属于基础题.8.【答案】C【解析】若“直线与曲线有且只有一个公共点”，则由图可知，当直线与圆相切时，只有一个交点，计算可得．所以“”是“直线与曲线有且只有一个公共点”的充要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件定义的应用，以及数形结合思想的应用，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为．故选：D．-19-\n【点睛】本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.10.【答案】C【解析】由于由等比中项的性质，故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.【答案】C【解析】初始：；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足输出条件；故选：C【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.12.【答案】A【解析】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，关于原点对称的解析式为，考查的图像和的交点，-19-\n可得，，令，所以，，为减函数，，，为增函数，，其图象为，故若要有两解，只要即可，故选：A13.【答案】【解析】由于向量,,且,由向量平行的坐标表示，故答案为：【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.【答案】133【解析】因为分数低于140的人数为：，因为分数低于130的人数为：，所以a∈(130，140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20，解得a≈133．-19-\n故答案为：13315【答案】.±1【解析】由双曲线，可得渐近线方程是，联立，得；联立，得，故，又由双曲线的离心率为，所以，得，所以，故，解得.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16.【答案】π【解析】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=π故答案为：π【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．17.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）设的公差为，由，前3项和，则，，-19-\n化简得，，解得，，故通项公式，即.（2）由（1）得，.设公比为，则，从而.故的前项和.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了等比数列前项和公式，属基础题.18.【答案】（1）（2），是恰当回归方程.【解析】（1）设“从学习时间的6个数据中随机选取2个数据，求这2个数据不相邻”为事件，这6个数据为3，4，5，6，7，8.抽取2个数据的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中相邻的有，，，，，共5种，所以（2）前四组数据为：学习时间（第天）3456当天得分17201924，，-19-\n，.当时，，此时成立，当时，，此时成立为恰当回归方程.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解和线性回归方程的求解，考查了对新概念的理解，属于中档题.19.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析；（III）．【解析】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面；（II）证明：因为侧面底面ABCD，，平面平面ABCD，平面，所以平面，又平面，所以；（III）因为平面，平面，平面平面，所以，所以，，则．所以是直角梯形，又是中点，所以，，所以，由（II）平面，平面，所以，从而，正三角形中，是中点，，，平面，所以平面，，-19-\n所以．【点睛】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理，考查求棱锥的体积．旨在考查学生的空间梘能力，逻辑推理能力．属于中档题．20.【答案】【解析】解：（Ⅰ）在△F1MF2中，△F1MF2的面积为．可得，得|MF1|•|MF2|=．由余弦定理，=，则|MF1|+|MF2|=4．故2a=|MF1||MF2|，即a=2，b2=a2﹣c2=1，椭圆C的标准方程为：．（Ⅱ）△OAF2的面积与△OBF2的面积的比值为2等价于，则．设A（x1，y1），B（x2，y2），故（x1，﹣y1）=2（x2﹣，y2），则y1=﹣2y2．（1）设直线l的方程为：x=ky+，由，消x并整理得（4+k2）y2+2﹣1=0，-19-\n则y1+y2=﹣，（2）y1y2=﹣（3）由（1）（2）（3）得，k=±，即存在直线x=±y+，使得△OAF2的面积与△OBF2的面积之比为2．21.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，有两个零点【解析】（1）因为，1分又，即，解得．2分令，即，解得；令，即，解得．4分所以的单调递增区间为，单调递减区间为．5分（2）由（Ⅰ）知在处取得最大值．6分①当即时，，所以无零点．7分②当即时，当且仅当时，，所以有一个零点．8分③当即时，，因为，且，又在上单调递增，所以在上有且只有一个零点．10分因为，且，令，则，所以在上单调递减，所以，所以．又在上单调递减，所以在上有且只有一个零点．-19-\n故当时，有两个零点．12分22.【答案】（1）；（2）；【解析】解：（1）由：消去参数得到.由：.（2）设，则到直线距离或此时【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用参数方程解决两点间距离的最小值，属于中档题型.23.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当＝时，不等式即为，当时，可得，解得，则；当时，可得，解得，则；当时，可得，解得，则．-19-\n综上可得，原不等式的解集为.（2）若不等式对一切恒成立，即为，又，当时，；当时，；当时，，故，则，即的取值范围是．【点睛】本题考查绝对值不等式的解以及绝对值不等式的恒成立问题，前者一般利用零点分段讨论法求解，后者一般转化为函数的最值来讨论.-19-
