（全国卷Ⅱ）2021年高考数学压轴卷理（含解析）第I卷（选择题）一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，3.设复数z满足，则z的虚部为（）A.－2B.0C.－1D.14.函数的部分图象如图所示，则A.B.C.D.-21-\n5.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．3C．D．46.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.在Rt△ABC中，，点D满足，则()A－1B.C.D.18.已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.9.我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（）A.B.C.D.10.已知等比数列{an}的各项均为正数,且,则()A.6B.9C.18D.81-21-\n11.运行如图所示的程序框图若输出的s的值为55则在内应填入()A.B.C.D.12.定义在R上的函数，当时，，且对任意实数，都有，若有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.-21-\n第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量,,且,则m=________.14.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a(a为整数)即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是________．15.已知，分别是双曲线C：的左，右顶点，F为左焦点，以为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在x轴上方，从左至右依次交于M，N两点，若∥，则该双曲线的离心率为．16.已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是_______________.三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答）(一)必做题17..已知等差数列{an}满足，前3项和.（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足，，求{bn}的前n项和.18.甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，若甲、乙各投篮三次，设X为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；（2）求X的分布列及数学期望.-21-\n19.如图，在三棱锥P﹣ABC中，，D、E分别是AB、AC的中点，且平面ABC.（1）求证：平面PDE；（2）求证：平面PDE.20.已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）设点，求面积的最大值.21.已知，a为常数.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线(t为参数)上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：（1）求曲线C1，C2的直角坐标下普通方程；（2）已知点Q在曲线C2上，求的最小值以及取得最小值时P点坐标..-21-\n23.已知函数＝．（1）当时，解不等式；（2）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．-21-\n2021新课标Ⅱ高考压轴卷数学（理）试卷答案1.【答案】C【解析】解:因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}.故选:C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及集合的运算，属于基础题.2.【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.3.【答案】C【解析】则的虚部为故选：C【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.5.【答案】C【解析】如图-21-\n，所以点当目标函数的一条等值线过点时，目标函数会取最大值所以的最大值是故选：C6.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：.故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用及几何体体积，还考查运算求解的能力，属于基础题.7.【答案】A【解析】在Rt△ABC中，，所以为直角，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，-21-\n则，，设，，，由，可得，即，解得，，所以，由，所以.故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，属于基础题.8.【答案】D【解析】由题意知，圆的方程为：，则圆心为，半径为则：，解得：圆心到直线的距离为：，解得：综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于-21-\n，易错点是忽略半径必须大于零的条件.9.【答案】D【解析】解：小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为．故选：D．【点睛】本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.10.【答案】C【解析】由于由等比中项的性质，故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.【答案】C【解析】初始：；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足输出条件；故选：C-21-\n【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.12.【答案】C【解析】当时，，当时，，此时，则，当时，，此时，则，当时，，此时，则，由，可得，分别作出函数和的图像：-21-\n若时，此时两个函数图像只有个交点，不满足条件；若时，当对数函数经过点时，两个图像有个交点，经过点时有个交点，则要使两个函数有有且仅有5个零点，则对数函数图像必须在点以下，在点以上，，，，，即满足，解得，即.故选：C【点睛】本题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于难题.13.【答案】【解析】由于向量,,且,由向量平行的坐标表示，-21-\n故答案为：【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.【答案】133【解析】因为分数低于140的人数为：，因为分数低于130的人数为：，所以a∈(130，140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20，解得a≈133．故答案为：13315.【答案】【解析】解：，分别是双曲线C：的左，右顶点，F为左焦点，故渐近线方程为，以为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在x轴上方，从左至右依次交于M，N两点，如图所示，因为，可知三角形FMO为等腰三角形，腰长为a，底边为c，底角为，在中可得，-21-\n所以，即，解得．【点睛】求解离心率问题就是要构造出a与c的等式或不等式，构造a与c的等式或不等式可以从定义、曲线方程、同一量的二次计算等角度构造.16.【答案】【解析】∵三棱锥中，∴顶点在底面上的射影为的外心，又是以为斜边的等腰直角三角形，∴点为的中点．∴平面．如上图，设点O为三棱锥外接球的球心，则的长即为外接球的球心到平面的距离．设球半径为，则．由题意得，，在中，有，即，解得，∴，-21-\n即三棱锥的外接球的球心到平面的距离为．故答案为：【点睛】本题考查的是几何体外接球的问题，解答本题的关键时是确定三棱锥外接球的球心的位置，属于基础题.17.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）设的公差为，由，前3项和，则，，化简得，，解得，，故通项公式，即.（2）由（1）得，.设公比为，则，从而.故的前项和.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了等比数列前项和公式，属基础题.18.【答案】（1）；（2）分布列见解析，1【解析】（1）甲以3:1获胜的概率，甲以3:2获胜的概率，甲以2:1获胜的概率，-21-\n则甲获胜的概率（2）由题意可得的所有可能取值是0，1，2，3.；；；.的分布列为0123故【点睛】此题考查求解概率和分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率.19.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)由分别为中点，可得，由面PDE，面PDE，可得平面PDE；(2)由平面ABC，平面ABC，可得，由(1)知，且由题意-21-\n可得，所以由，且平面PDE，可得平面PDE.【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了线面垂直的性质定理和判定定理的应用，属于一般难度的题.20.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）由题意可知，，根据，得，，椭圆C的方程为.（2）设直线的方程为，由，得，，.点A到直线的距离，所以，-21-\n当时，；当时，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.【点睛】本题考查根据的关系求椭圆方程，考查利用弦长公式和点到直线的距离公式求三角形的面积，考查均值不等式的应用，属于基础题.21.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1），当时，，在上单调递减；当时，由得，；由得，.故在递减，在递增.（2）由得，，，∴.①当时，由（1）知，在上单调递增，∴，②当时，令，则，，，当时，，-21-\n由得，，∴时，，从而，由零点存在定理知，存在，使得.当时，，此时，，不合题意当时，，由得，，∴时，，从而，由零点存在定理知，存在，使得，当时，，此时，，不合题意.综上，.【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性以及不等式的恒成立问题，正确分段讨论参数的范围是解题的关键，构造恰当的函数讨论单调性，考查学生的运算能力和转化能力,属于偏难题.22.【答案】（1）；（2）；【解析】解：（1）由：消去参数得到.由：.-21-\n（2）设，则到直线距离或此时【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用参数方程解决两点间距离的最小值，属于中档题型.23.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当＝时，不等式即为，当时，可得，解得，则；当时，可得，解得，则；当时，可得，解得，则．综上可得，原不等式的解集为.（2）若不等式对一切恒成立，即为，又，当时，；当时，；当时，，故，则，即的取值范围是．-21-\n【点睛】本题考查绝对值不等式的解以及绝对值不等式的恒成立问题，前者一般利用零点分段讨论法求解，后者一般转化为函数的最值来讨论.-21-
