第三章 导数及其应用第二讲 导数的简单应用练好题·考点自测1.[2021陕西模拟]若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)2.下列说法错误的是( )A.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的B.若x0是可导函数y=f(x)的极值点,则一定有f'(x0)=0C.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值D.函数f(x)=xsinx有无数个极值点3.[2020安徽安庆一中5月模拟]函数y=f(x)的导函数的图象如图3-2-1所示,给出下列命题:①(0,3)为函数y=f(x)的单调递减区间;②(5,+∞)为函数y=f(x)的单调递增区间;③函数y=f(x)在x=0处取得极大值;④函数y=f(x)在x=5处取得极小值.其中正确的命题序号是( )A.①③B.②④C.①④D.②③④4.[2017全国卷Ⅱ,11,5分][理]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.15.[2021河南省名校第一次联考]已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则c= . 6.[2021武汉市部分学校质检]设函数f(x)=ln1+sinx2cosx在区间[-π4,π4]上的最小值和最大值分别为m和M,则m+M= . 拓展变式1.[2020全国卷Ⅰ,21,12分][理]已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥12x3+1,求a的取值范围.2.已知函数g(x)=13x3-a2x2+2x+5.(1)若函数g(x)在(-2,-1)内单调递减,则a的取值范围为 ; 第6页共6页\n(2)若函数g(x)在(-2,-1)内存在单调递减区间,则a的取值范围为 ; (3)若函数g(x)在(-2,-1)上不单调,则a的取值范围为 . 3.[2017北京,19,13分][理]已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.4.[2020广西桂林三校联考]已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.(1)函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)≤0恒成立,求实数a的最小值;(2)当a>0时,f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围.5.[2021湖南名校大联考]若f(x)为定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0]时,f'(x)+2x>0,则不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3的解集为( )A.(32,+∞)B.(-∞,-3)C.(-∞,-32)D.(-32,+∞)答案第二讲 导数的简单应用1.D 因为f(x)=kx-lnx,所以f'(x)=k-1x.因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f'(x)=k-1x≥0恒成立,即k≥1x在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>1,所以0<1x<1,所以k≥1.故选D.第6页共6页\n2.A 对于A选项,函数在某区间上或定义域内的极大值不一定是唯一的,如f(x)=sinx在定义域内有无数个极大值点,故A错误;对于B选项,若x0是可导函数y=f(x)的极值点,则一定有f'(x0)=0,故B正确;对于C选项,显然正确;对于D选项,函数f(x)=xsinx的导数f'(x)=sinx+xcosx,令f'(x)=0,则x=-tanx,因为y=x与y=-tanx的图象有无数个交点,故函数f(x)=xsinx有无数个极值点,故D正确.选A.3.B 由函数y=f(x)的导函数的图象可知,当x<-1或3<x<5时,f'(x)<0,y=f(x)单调递减,当-1<x<3或x>5时,f'(x)>0,y=f(x)单调递增,由此可知①错误,②正确;函数y=f(x)在x=-1,x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值,由此可知③错误,④正确.故选B.4.A 因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,令f'(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,故选A.5.6 解法一 由题知,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),当c≤0时,不合题意,故c>0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,c3)c3(c3,c)c(c,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值f(c3)↘极小值f(c)↗故c3=2,c=6.解法二 由题知,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),则f'(2)=(2-c)(6-c)=0,解得c=2或c=6,经检验,c=2不合题意,故c=6.6.-2ln2 令g(x)=1+sinx2cosx,x∈[-π4,π4],则g'(x)=cos2x+sinx(1+sinx)2cos2x=sinx+12cos2x,因为x∈[-π4,π4],所以sinx∈[-22,22],所以g'(x)>0,则g(x)在[-π4,π4]上单调递增,所以f(x)在[-π4,π4]上单调递增,因为g(-π4)=1-222×22=2-12,g(π4)=1+222×22=2+12,所以f(x)的最小值与最大值的和m+M=ln2-12+ln2+12=ln14=-2ln2.1.(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)f(x)≥12x3+1等价于(12x3-ax2+x+1)e-x≤1.设函数g(x)=(12x3-ax2+x+1)e-x(x≥0),则g'(x)=-(12x3-ax2+x+1-32x2+2ax-1)e-x第6页共6页\n=-12x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x=-12x(x-2a-1)(x-2)e-x.(i)若2a+1≤0,即a≤-12,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2)上单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.(ii)若0<2a+1<2,即-12<a<12,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥7-e24.所以当7-e24≤a<12时,g(x)≤1.(iii)若2a+1≥2,即a≥12,则g(x)≤(12x3+x+1)e-x.由于0∈[7-e24,12),故由(ii)可得当a=0时,g(x)=(12x3+x+1)e-x≤1.故当a≥12时,g(x)≤1.综上,a的取值范围是[7-e24,+∞).2.因为g(x)=13x3-a2x2+2x+5,所以g'(x)=x2-ax+2.(1)(-∞,-3] 解法一 因为g(x)在(-2,-1)内单调递减,所以g'(x)=x2-ax+2≤0在(-2,-1)内恒成立.所以g'(-2)≤0,g'(-1)≤0,即4+2a+2≤0,1+a+2≤0,解得a≤-3.即实数a的取值范围为(-∞,-3].解法二 由题意知x2-ax+2≤0在(-2,-1)内恒成立,所以a≤x+2x在(-2,-1)内恒成立,记h(x)=x+2x,则x∈(-2,-1)时,-3<h(x)≤-22,所以a≤-3.即实数a的取值范围为(-∞,-3].(2)(-∞,-22) 因为函数g(x)在(-2,-1)内存在单调递减区间,所以g'(x)=x2-ax+2<0在(-2,-1)内有解,所以a<(x+2x)max.又x+2x≤-22,当且仅当x=2x即x=-2时等号成立,所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-22).(3)(-3,-22) 由(1)知g(x)在(-2,-1)上单调递减时,a的范围是(-∞,-3].若g(x)在(-2,-1)上单调递增,第6页共6页\n则a≥x+2x在(-2,-1)上恒成立,又在(-2,-1)上y=x+2x的值域为(-3,-22],所以a的取值范围是[-22,+∞),所以函数g(x)在(-2,-1)上单调时,a的取值范围是(-∞,-3]∪[-22,+∞),故g(x)在(-2,-1)上不单调时,实数a的取值范围是(-3,-22).3.(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x∈[0,π2]时,h'(x)≤0,当且仅当x=0时“=”成立,所以h(x)在区间[0,π2]上单调递减.所以对任意x∈[0,π2],有h(x)≤h(0)=0,即f'(x)≤0,当且仅当x=0时“=”成立.所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减.因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1,最小值为f(π2)=-π2.4.(1)由题意得g(x)=lnx-(a+2)x+1≤0在(0,+∞)上恒成立,因为x>0,所以a+2≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立.设h(x)=lnx+1x(x>0),则h'(x)=1x·x-(lnx+1)·1x2=-lnxx2,令h'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增;当x>1时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减.因此h(x)max=h(1)=1,所以a+2≥1,即a≥-1.于是所求实数a的最小值为-1.(2)对f(x)求导,得f'(x)=2ax-(a+2)+1x=(ax-1)(2x-1)x(x>0,a>0),令f'(x)=0,得x1=12,x2=1a.①当0<1a≤1,即a≥1时,因为x∈[1,e],所以f'(x)≥0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=-2,符合题意;②当1<1a<e,即1e<a<1时,因为x∈[1,e],所以当x∈[1,1a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1a,e]时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1a)<f(1)=-2,不符合题意,舍去;第6页共6页\n③当1a≥e,即0<a≤1e时,因为x∈[1,e],所以f'(x)≤0,f(x)单调递减,所以f(x)min=f(e)<f(1)=-2,不符合题意,舍去.综上可知,实数a的取值范围为[1,+∞).5.D 令g(x)=f(x)+x2,因为f(x)为定义在R上的偶函数,所以g(x)也是定义在R上的偶函数,g'(x)=f'(x)+2x,当x∈(-∞,0]时,g'(x)=f'(x)+2x>0,所以g(x)在(-∞,0]上单调递增,所以当x∈(0,+∞)时,g(x)单调递减.g(x+1)=f(x+1)+(x+1)2,g(x+2)=f(x+2)+(x+2)2,所以不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3,可化为f(x+1)+(x+1)2>f(x+2)+(x+2)2,(题眼)即g(x+1)>g(x+2),所以|x+1|<|x+2|,解得x>-32,故选D.第6页共6页
