专题检测（十四）统计、统计案例A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2019·福州市质量检测)某校学生会为了了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数01234567参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是( )A．表中m的数值为10B．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为25解析：选C A中的m值应为12；B中应为380人；C是正确的；D中的分段间隔应为20，故选C.2．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数 B．平均数C．方差D．极差解析：选A 中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.3．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由直方图可知( )A．估计体重的众数为50或60B．a＝0.03C．学生体重在[50,60)有35人\nD．从这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为解析：选C 根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为＝55，所以估计众数为55，A错误；根据频率和为1，计算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，B错误；体重在[50,60)内的频率是0.35，估计体重在[50,60)内的学生有100×0.35＝35人，C正确；体重在[60,80)内的频率为0.3＋0.2＝0.5，用频率估计概率，知这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为，D错误．4．(2019·武汉市调研测试)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是( )A．30B．40C．42D．48解析：选A 由条形统计图知，B—自行乘车上学的有42人，C—家人接送上学的有30人，D—其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设A—结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A—结伴步行上学与B—自行乘车上学的学生占60%，所以＝，解得x＝30，故选A.5．如图是民航部门统计的2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高\nB．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D 由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误，选D.6．(2019·郑州市第二次质量预测)将甲、乙两个篮球队各5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲、乙两队得分的极差相等解析：选C 由题中茎叶图得，甲队的平均得分甲＝＝29，乙队的平均得分乙＝＝30，甲＜乙，选项A不正确；甲队得分的中位数为29，乙队得分的中位数为30，甲队得分的中位数小于乙队得分的中位数，选项B不正确；甲队得分的方差s＝×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝，乙队得分的方差s＝×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，s＞s，选项C正确；甲队得分的极差为31－26＝5，乙队得分的极差为32－28＝4，两者不相等，选项D不正确．故选C.二、填空题7．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________.\n解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列：5,8,9,12,14,16,16,19,21,24，中间两个为14与16，故中位数为＝15.答案：158．已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差为8，则a的值为________．解析：根据方差的性质可知，a2×2＝8，故a＝2.答案：29．(2019·广东六校第一次联考)某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：kW·h)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：x(单位：℃)171410－1y(单位：kW·h)243438a由表中数据得线性回归方程：＝－2x＋60，则a的值为________．解析：由题意，得＝＝10，＝＝.样本点的中心(，)在回归直线＝－2x＋60上，代入线性回归方程可得＝－20＋60，解得a＝64.答案：64三、解答题10．(2019·兰州市诊断考试)“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不大于23或4不少于5人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)根据上表的数据，填写下列2×\n2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者总计男140女55总计附：K2＝(n为样本容量)P(K2≥k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市“热烈参与者”的人数约为20000×＝4000.(2)2×2列联表为热烈参与者非热烈参与者总计男35105140女55560总计40160200K2＝≈7.292＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．11．(2019·广东六校第一次联考)某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R(单位：千米)的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下表：出厂续驶里程R/千米补贴/(万元/辆)150≤R<2503250≤R<3504R≥3504.5\n2017年底某部门随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示，用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值．(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下频数分布表：辆数[5500,6500)[6500,7500)[7500,8500)[8500,9500]天数20304010(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置，直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一，购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二，购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润(日利润＝日收入－日维护费用)．解：(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为补贴/(万元/辆)344.5概率0.20.50.3∴该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值为3×0.2＋4×0.5＋4.5×0.3＝3.95(万元)．(2)由频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为辆数6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为30×\n100＋4×900＝6600，可得实际充电车辆数的分布列为实际充电车辆数60006600概率0.20.8于是估计方案一下新设备产生的日利润为25×(6000×0.2＋6600×0.8)－500×100－80×900＝40000(元)．若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200＋4×400＝7600，可得实际充电车辆数的分布列为实际充电车辆数600070007600概率0.20.30.5于是估计方案二下新设备产生的日利润为25×(6000×0.2＋7000×0.3＋7600×0.5)－500×200－80×400＝45500(元)．12．某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y(单位：kg)与该地当日最高气温x(单位：℃)的相关数据，如下表：x119852y7881012(1)试求y与x的回归方程＝x＋；(2)判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6℃，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；(3)假定该地12月份的日最高气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似取样本平均数，σ2近似取样本方差s2，试求P(3.8<X<13.4)．附：参考公式和有关数据≈3.2，≈1.8，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6827，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545.解：(1)由题意，＝7，＝9，iyi－n＝287－5×7×9＝－28，－n2＝295－5×72＝50，＝－＝－0.56，＝－＝9－(－0.56)×7＝12.92.所以所求回归直线方程为＝－0.56x＋12.92.\n(2)由＝－0.56＜0知，y与x负相关．将x＝6代入回归方程可得，＝－0.56×6＋12.92＝9.56，即可预测当日该商品的销售量为9.56kg.(3)由(1)知μ≈＝7，σ≈≈3.2，所以P(3.8＜X＜13.4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.8186.B组——大题专攻强化练1．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为＝0.025.(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2，故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)＝0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)＝D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6)．2．(2019·江西八所重点中学联考)某部门经统计，客户对不同款型理财产品的最满意度百分比和对应的理财总销售量(单位：万元)如下表(最满意度百分比越高时总销售量越高)：\n产品款型ABCDEFGHIJ最满意度百分比/%20342519262019241913总销售量/万元80898978757165626052设x表示理财产品最满意度的百分比，y为该理财产品的总销售量(单位：万元)．这些数据的散点图如图所示．(1)在5份A款型理财产品的客户满意度调查资料中只有一份是最满意的，从这5份资料中任取2份，求含有最满意客户资料的概率．(2)我们约定：相关系数的绝对值在0.3以下是无线性相关，在0.3以上(含0.3)至0.75是一般线性相关，在0.75以上(含0.75)是较强线性相关，y与x是否达到较强线性相关？若达到，请求出线性回归方程；若没有达到较强线性相关，则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款型产品退出理财销售)，请求在剔除“末位”款型后的线性回归方程(系数精确到0.1)．数据参考计算值：－102iyi－10·参考计算值21.972.1288.937.16452.117.00附：线性相关系数r＝，回归直线方程＝＋x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝－.解：(1)在5份A款型理财产品的客户资料中只有1份是最满意的，把最满意客户资料记为a，其余客户资料记为b，c，d，e.则任取2份资料的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e\n)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个．含有a的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4个．则含有最满意客户资料的概率为＝.(2)线性相关系数r＝＝≈0.72∈[0.3,0,75)，即y与x具有一般线性相关关系，没有达到较强线性相关关系．由“末位”剔除制度可知，应剔除J款型理财产品，重新计算得′＝＝≈22.89，′＝＝≈74.33，－9′＝288.9＋10×21.92－132－9×22.892≈200.43，iyi－9′·′＝452.1＋10×21.9×72.1－13×52－9×22.89×74.33≈253.27.＝＝≈1.26≈1.3.＝′－′＝74.33－1.26×22.89≈45.5.所求线性回归方程为＝45.5＋1.3x.(注：若用＝1.3计算出a≈44.6，即＝44.6＋1.3x不扣分)
