数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CACDBBCBAACD二、填空题（每小题5分，共20分）13.314.15.16.1解析：，，故选C.2解析：，所以，故选A.3解析：，，，从而有，故选C.4解析：通项当时，，故常数项为，选D.5解析：，由得，故选B.11\n6解析：设首项为，公比为，因为，所以有，即，从而解得故选B.7解析：，所以可以由向右平移个单位，选C.8解析：抛物线的焦点，,从而.所以的最小值等于，选B.9解析：直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即，由几何概型得，从而.选A.10.解析：双曲线的一条渐近线为，条件知圆心到渐近线的距离等于，从而有，即，所以，故，选A.11解析：，所以A，B均正确，，，所以，选项C错误；，从而答案D正确。11\n故选C.12.解析：，而，，从而有，又函数为奇函数，所以.不等式等价于从而可得.故选D.13.解析：不等式组所表示区域为图中阴影区域，由条件当经过点时，取得最大值，且故答案为3.14解析：，，，而切线过点，从而有，解得.15.解析：，11\n。16解析：从而可得即，数列在上为增数列且故.三、解答题：本大题共6小题，共70分，17（本题满分12分）解析：（1）…2分即,……3分从而……4分而，所以……6分（2）……7分11\n……9分当且仅当，即时，等号成立。……10分此时，故.……12分18.（本题满分12分）（1）证明：……1分又，所以……2分，故……4分而，从而即证……5分（2）以为，为，为建立空间直角坐标系，如图所示：因为,所以……6分由条件可得从而……7分设面的法向量为则从而可得……9分因为，所以面的一个法向量……10分11\n，……11分设面与面所成锐二面角为，则，故面与面所成锐二面角的余弦值为。……12分19（本题满分12分）解析：(1)直线过左焦点，所以，……1分又……2分从而椭圆经过点……3分由椭圆定义知……4分故椭圆的方程为.……5分（2）由条件知，直线斜率存在，且两直线斜率互为相反数，……6分设直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，11\n由得从而有，，故,……8分同理可得,……9分……11分即证直线的斜率为定值，且为.……12分20（本题满分12分）解析：（1）在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案一，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为.……2分设“这位顾客获得180元返金券”为事件A，则.故这位顾客均获得180元返金券的概率.……4分11\n（2）若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为60，120，180，240.则……6分所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）……8分若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则，故.选择方案②，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）……11分从而有，所以应选择方案①更划算。.……12分21.（本题满分12分）解析：（1）当时，，；无极值。……1分当时，11\n由，，，…2分由，，，…3分，无极大值。……4分综上所述：当时，，当时，，无极大值。……5分（2）由（1）知当时，，在，而，当时，；当时，；……7分当，即时，；……8分当，即时，；……9分当，即时，.……11分综上：当时，；当时，；11\n当时，。……12分22.（本题满分10分）解析：（1）曲线C：……2分直线l：……4分（2）设：……5分将的参数方程代入得……7分故，……8分故……10分23.（本题满分10分）（1）当时，，即11\n当时，即，从而有；当时，即，从而有；当时，即，此时为；综上所述：……5分（2）若，由函数性质可知，所以……8分题意为，即，从而得又，故……10分11
