专题一 常以客观题形式考查的几个问题第1讲 集合与常用逻辑用语真题试做1．(2012·重庆高考，理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )．A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件2．(2012·广东高考，理2)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则UM＝( )．A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}3．(2012·山东高考，理3)设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2012·湖北高考，理2)命题“x0∈RQ，x∈Q”的否定是( )．A．x0RQ，x∈QB．x0∈RQ，xQC．xRQ，x3∈QD．x∈RQ，x3Q5．(2012·天津高考，理11)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝__________.考向分析本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现，集合在高考中主要考查三方面内容：一是考查集合的概念、集合间的关系；二是考查集合的运算和集合语言的运用，常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识；三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力．对逻辑用语的考查，主要是对命题真假的判断、命题的四种形式、充分必要条件的判断、全称量词和存在量词的应用等．热点例析热点一 集合的概念与运算【例1】已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，则logab＝( )．A．－1B．0C．1D．2规律方法解答集合间的运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解；④注意转化关系(RA)∩B＝BBRA，A∪B＝BAB，U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB)等．变式训练1设全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )．A.B.C.D.热点二 命题的真假与否定【例2】给出下列四个结论：①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；-5-\n②“x0∈R，使得x2－x＞0”的否定是：“x∈R，均有x2－x＜0”；③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，p且q为真命题．其中正确结论的序号是__________．(填写所有正确结论的序号)规律方法1.命题真假的判定方法：(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别；(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)形如p∨q，p∧q，p命题的真假根据真值表判定；(4)全称命题与特称命题的真假的判定：全称命题p：x∈M，p(x)，其否定形式是x0∈M，p(x0)；特称命题p：x0∈M，p(x0)，其否定形式是x∈M，p(x)．2．命题的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个＞x∈A，使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个≤x0∈A，使p(x0)假变式训练2已知命题p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )．A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1热点三 充分条件、必要条件、充要条件的判定【例3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．规律方法(1)对充分、必要条件的判断要注意以下几点：①要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.②要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(2)判断命题的充要关系有三种方法：①定义法：1°分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；2°找推式：判断“pq”及“qp”的真假；3°下结论：根据推式及定义下结论．②等价法：即利用AB与BA；BA与AB；AB与BA的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．③利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．变式训练3(2012·山东济南一模)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )．A.B.C．(－∞，0]∪D．(－∞，0)∪思想渗透1．补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求A的补集，再由A的补集的补集是A求出A.逆向思维是从已有习惯思维的反方向去思考问题，在正向思维受阻时，逆向思维往往能起到“柳暗花明又一村”的效果，补集思想就是一种常见的逆向思维．已知下列三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．解：设已知的三个方程都没有实根，则解得－＜a＜－1.-5-\n故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－.2．特殊值法判断命题真假的类型：(1)判断全称命题为假；(2)判断特称命题为真；(3)判断一个命题不成立．求解时注意的问题：(1)寻找特例时，应使特例符合已知条件；(2)特例应力求全面，不能以偏概全．1．(2012·广州一模，理2)已知全集U＝R，函数y＝的定义域为集合A，函数y＝log2(x＋2)的定义域为集合B，则集合(UA)∩B＝( )．A．(－2，－1)B．(－2，－1]C．(－∞，－2)D．(－1，＋∞)2．(2012·广东佛山二模，理4)已知a，b为实数，则“|a|＋|b|＜1”是“|a|＜且|b|＜”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(2012·广东佛山一中期中，理2)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )．A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b34．已知命题p：x∈R，使sinx＝，命题q：x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是( )．A．①②③B．③④C．②④D．②③5．(2012·广东粤西北九校联考，理3)下列命题错误的是( )．A．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1，则x2－3x＋2≠0”C．对命题：“对k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是：“k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根”D．若命题p：x∈A∪B，则p是xA且xB6．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|＞1θ∈p2：|a＋b|＞1θ∈p3：|a－b|＞1θ∈-5-\np4：|a－b|＞1θ∈其中的真命题是( )．A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．D 解析：若f(x)为[0,1]上的增函数，则f(x)在[－1,0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数；若f(x)为[3,4]上的减函数，则f(x)在[－1,0]上也为减函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数，故选D.2．C 解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴UM＝{3,5,6}．3．A 解析：由函数f(x)＝ax在R上是减函数可得0＜a＜1，由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得a＜2，因为0＜a＜1a＜2，a＜20＜a＜1，所以题干中前者为后者的充分不必要条件，故选A.4．D 解析：该特称命题的否定为“x∈RQ，x3Q”．5．－1 1 解析：A＝{x∈R||x＋2|＜3}，∴|x＋2|＜3.∴－3＜x＋2＜3，∴－5＜x＜1.又∵B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，∴－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，n是区间(－5,1)的右端点，∴m＝－1，n＝1.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B 解析：∵A∩B＝{1}，∴b＝1或a2＝1(不满足题意，舍去)，∴b＝1.∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝2或a＝4(不满足题意，舍去)，故logab＝log21＝0.选B.【变式训练1】B 解析：M＝{x|y＝}＝，N＝{y|y＝3－2x}＝{y|y＜3}．因图中阴影部分表示的集合的元素为N中元素除去M中元素，即＜x＜3，故选B.【例2】①④ 解析：对于①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对于②，命题“x0∈R，使得x2－x＞0”的否定应是：“x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；对于③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对于④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．【变式训练2】A 解析：p：y＝x2在x∈[1,2]上递增，最小值为1，∴a≤1.q：Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a2＋a－2≥0，a≤－2或a≥1.若命题“p∧q”是真命题，则p，q都为真．由得a＝1或a≤－2，故选A.【例3】解：由题意知qp，但pq.即pq，但qp.∴或解得m≥9.【变式训练3】A 解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1，p为x＜或x＞1；由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，q为x＜a或x＞a＋1.若p是q的必要不充分条件，应有a≤且a＋1≥1，两者不能同时取等号，-5-\n所以0≤a≤，故选A.创新模拟·预测演练1．B 解析：由题意，得A＝(－1，＋∞)，B＝(－2，＋∞)．所以UA＝(－∞，－1]．所以(UA)∩B＝(－2，－1]．故选B.2．B 解析：因为|a|＋|b|＜1|a|＜且|b|＜，而|a|＜且|b|＜|a|＋|b|＜1，所以“|a|＋|b|＜1”是“|a|＜且|b|＜”的必要不充分条件，故选B.3．A 解析：当a＞b＋1时，∵b＋1＞b，∴a＞b，即a＞b＋1a＞b.而a＞ba＞b＋1，故选A.4．D 解析：命题p为假命题，命题q为真命题，故①④错误，②③正确．5．B 解析：命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．故选B.6．A 解析：由|a＋b|＞1得(a＋b)2＞1，即a2＋b2＋2a·b＞1，整理得cosθ＞－，又θ∈[0，π]，解得θ∈；由|a－b|＞1得(a－b)2＞1，即a2＋b2－2a·b＞1，整理得cosθ＜，又θ∈[0，π]，解得θ∈.综上可知p1，p4正确，故选A.-5-
