江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10数__列(Ⅱ)回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题.预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大：(1)填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质.(2)在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证.1．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.解析：S100＝(a1＋a100)＝45，a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝.a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.答案：102．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝________.解析：由已知得a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－30.答案：－303．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么数列12，a1，a2，…，a500-10-\n的“理想数”为________．解析：根据理想数的意义有，2004＝，∴＝＝2012.答案：20124．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.解析：函数y＝x2(x>0)在点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)．令y＝0得a2＝8；同理函数y＝x2(x>0)在点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4；依次同理求得a4＝2，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.答案：215．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.答案： (1)已知正数数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则an＝________.(2)数列{an}为正项等比数列，若a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前n项和Sn＝________.[解析] (1)由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝a＝4⇒a1＝2，所以ap＋1＝ap·a1，即＝-10-\na1＝2，即数列{an}为等比数列，所以an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.(2)设等比数列的公比为q，由an＋an＋1＝6an－1知，当n＝2时，a2＋a3＝6a1.再由a2＝1，得1＋q＝，化简得q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.∵q>0，∴q＝2，∴a1＝，∴Sn＝＝2n－1－.[答案] (1)2n (2)2n－1－这两题分别是由“ap＋q＝ap·aq”和“an＋an＋1＝6an－1”推出其他条件来确定基本量，不过第(1)小题中首先要确定该数列的特征，而第(2)小题已经明确是等比数列，代入公式列方程求解即可． 已知{an}是等差数列，a10＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝________.解析：法一：因为S10＝70，所以＝70，即a1＋a10＝14.又a10＝10，所以a1＝4，故9d＝10－4＝6，所以d＝.法二：由题意得解得答案： 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n，n≥1.(1)写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．[解] (1)在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分别令n＝1,2,3得解得(2)由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1，得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2.两式相减得an＝2an＋(－1)n－2an－1－(－1)n－1，n≥2.即an＝2an－1－2(－1)n，n≥2.an＝2an－1－×(－1)n－×(－1)n＝2an－1＋×(－1)n－1－×(－1)n，an＋×(－1)n＝2(an－1＋×(－1)n－1)(n≥2)，-10-\n故数列是以a1－＝为首项，2为公比的等比数列．所以an＋×(－1)n＝×2n－1，即an＝×2n－1－×(－1)n.1．求数列通项公式的方法：(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法；(3)已知前n项和公式用an＝求解．2．数列求和的基本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝pan－2n，n∈N*，其中常数p>2.(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)若a2＝3，求数列{an}的通项公式；(3)对于(2)中数列{an}，若数列{bn}满足bn＝log2(an＋1)(n∈N*)，在bk与bk＋1之间插入2k－1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm＝2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．解：(1)证明：因为2Sn＝pan－2n，所以2Sn＋1＝pan＋1－2(n＋1)，所以2an＋1＝pan＋1－pan－2，所以an＋1＝an＋，所以an＋1＋1＝(an＋1)．因为2a1＝pa1－2，且p>2，所以a1＝>0.所以a1＋1＝>0.所以＝≠0.所以数列{an＋1}为等比数列．(2)由(1)知an＋1＝n，所以an＝n－1.又因为a2＝3，所以2－1＝3.-10-\n所以p＝4，an＝2n－1.(3)由(2)得bn＝log22n＝n(n∈N*)，数列{cn}中，bk(含bk项)前的所有项的和是(1＋2＋3＋…＋k)＋(20＋21＋22＋…＋2k－2)×2＝＋2k－2，当k＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2011，当k＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2011，又因为2011－1077＝934＝467×2，是2的倍数，所以当m＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时，Tm＝2011，所以存在m＝988使得Tm＝2011. 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{bn}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{cn}，其前n项和为Sn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13＝1.①求Sn；②记M＝{n|(n＋1)cn≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．[解] (1)设数列{bn}的公差为d，则解得所以bn＝2n.(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，且32<13<42，所以a10＝b4＝8.所以a13＝a10q3＝8q3.又a13＝1，解得q＝.因此cn＝2n·n－1＝.所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋.因此Sn＝＋＋＋…＋－＝4－－＝4－，-10-\n解得Sn＝8－.②由①知cn＝，不等式(n＋1)cn≥λ，可化为≥λ.设f(n)＝，计算得f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝，因为f(n＋1)－f(n)＝，所以当n≥3时，f(n＋1)<f(n)．因为集合M的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]．本题第二小问中②的参数取值范围问题，运用了函数的思想方法，进行参数分离转化为≥λ，再构造函数求出的取值范围，从而得到参数λ的取值范围，这里要注意n只能取正整数． 下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．(1)请写出cn的一个表达式，cn＝________；(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝________.(用数字作答)解析：由1,2,3,4,5，…猜想an＝n；由2,4,8,16,32，…猜想bn＝2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想cn＝n＋2n.从而M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝＋＝2101.答案：(1)n＋2n (2)2101 1．数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．2．数列求和问题，主要考查利用公式法求数列的前n项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形．3．数列中an或Sn的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列an或Sn-10-\n的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是n只能取正整数．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列中的参数取值范围问题在处理时，首选还是参数分离，分离后根据新数列的单调性确定最值或范围．1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值为________．解析：由a7＋a9＝16，得a8＝8，由a4＋a12＝2a8，得a12＝15.答案：152．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝________.解析：由a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，得a2＝－，a3＝，a4＝0，……由此可知：数列{an}是周期变化的，且循环周期为3，所以可得a20＝a2＝－.答案：－3．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<logm(ab)<1，则m的取值范围是________．解析：由题意得即解得由0<logm8<1，得m>8.答案：(8，＋∞)4．等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则n＝________.解析：由＝＝，得n＝10.答案：105．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．解析：由题意可知q≠1，∴可得2(1－qn)＝(1－qn＋1)＋(1－qn＋2)，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(不合题意，舍去)，∴q＝－2.-10-\n答案：－26．所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第一行 1第二行 3 5第三行 7 9 11 13……则第6行中的第3个数是________．解析：由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得第六行第三个数为第34个正奇数，所以这个数是2×34－1＝67.答案：677．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．解析：记a2＝m，则1≤m≤q≤m＋1≤q2≤m＋2≤q3，要q取最小值，则m必定为1，于是有1≤q≤2,2≤q2≤3，3≤q3，所以q≥.答案：8．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的前100项的和为________．解析：由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，得a2＝＝3，a3＝＝1，a4＝＝2，则{an}是周期为3的数列，所以S100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.答案：2009．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且任意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，则(ai＋bi)的值是________．解析：由题意得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝2，b2＝3，b3＝4，b4＝5，b5＝6.归纳得an＝n，bn＝n＋1；设cn＝an＋bn，cn＝an＋bn＝n＋n＋1＝2n＋1，则数列{cn}是首项为c1＝3，公差为2的等差数列，所以(ai＋bi)＝×＝2012.答案：201210．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是________．-10-\n解析：y′＝nxn－1－(n＋1)xn，曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线的斜率为k＝n·2n－1－(n＋1)·2n，切点为(2，－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)，令x＝0得an＝(n＋1)·2n，令bn＝＝2n，数列的前n项和为2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.答案：2n＋1－211．已知数列{an}满足an>0且对一切n∈N*，有a＋a＋…＋a＝S，a1＋a2＋…＋an＝Sn.(1)求证：对一切n∈N*有a－an＋1＝2Sn；(2)求数列{an}通项公式．解：(1)证明：∵a＋a＋…＋a＝S，①∴a＋a＋…＋a＋a＝S.②②－①得S－S＝a，即(Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn)＝a，an＋1(2Sn＋an＋1)＝a.∵an＋1≠0，∴a－an＋1＝2Sn(n∈N*)．(2)由a－an＋1＝2Sn及a－an＝2Sn－1(n≥2)两式相减，得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an.∵an＋1＋an>0，∴an＋1－an＝1(n≥2)．当n＝1,2时，易得a1＝1，a2＝2也适合an＋1－an＝1，∴{an}是等差数列，且an＝n.12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知＋＋…＋＝(n∈N*)．(1)求S1，S2及Sn；(2)设bn＝an，若对一切n∈N*，均有bk∈，求实数m的取值范围．解：依题意，n＝1时，S1＝2；n＝2时，S2＝6.因为＋＋…＋＝(n∈N*)，n≥2时，＋＋…＋＝，所以＝－，所以Sn＝n(n＋1)．上式对n＝1也成立，所以Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．-10-\n(2)当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以an＝2n(n∈N*)，bn＝n，＝.所以数列{bn}是等比数列．则bk＝＝.因为随n的增大而增大，所以≤bk<，由得所以m<0或m≥5，即m的取值范围为(－∞，0)∪[5，＋∞)． -10-
