河南省普通高中2013年新课程高考适应性考试（一）数学（文）试题本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={}，下图中阴影部分所表示的集合为A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1}C．{0，1}2．复数，在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第二象限D．第四象限3．在用二分法求方程的一个近似解时，已将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为A．（1，4，2）B．（1，1，4）C．（1，）D．4．已知命题使得命题，下列命题为真的是A．pqB．（C．D．5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．6．设函数是A．最小正周期为的奇函数10\nB．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数7．如图是计算函数的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是A．y=ln（一x），y=0，y=2xB．y=0，y=2x，y=In（一x）C．y=ln（一x），y=2z，y=0D．y=0，y=ln（一x），y=2x8．如果数列是首项为1，公比为的等比数列，则等于A．B．—32C．D．329．在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是10．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b一c）=0，则|c|的最大值是A．1B．C．2D．11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为A．16B．24C．32D．4812．过双曲线10\n的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22～24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知函数的最大值是。14．已知函数上的奇函数，且的图象关于直线x=1对称，当时，．15．已知圆过坐标原点，则圆心C到直线距离的最小值等于．16．已知函数处取得极值，若的最小值是。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（I）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若a-b=4，△ABC的最大内角为120°，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中。AB=AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D．（I）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D?若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元10\n之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），……，第五组[17，18]。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0．1）；（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，，求事件“|m-n|>l”的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。21．（本小题满分12分）已知函数（1）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数a的取值范围；（2）若方程有唯一解，求实数m的值。10\n请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲在ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心。（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（I）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1,2）,求的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数=（I）求函数的最小值m；（II）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．10\n参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CCDAABBDDDDC二、填空题（每小题5分，共20分）（13） （14） （15） （16）三、解答题（17）解：（Ⅰ）由正弦定理已知等式可化为，所以， 3分所以，所以.由正弦定理得，，所以a，c，b成等差数列. ………6分（Ⅱ）由 得 且a为最大边,由，得：，从而, …10分所以. 12分（18）（Ⅰ）证明：因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AD．又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥BC，所以D是BC的中点． 3分如图，连接A1C，设与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点．连接DE，则在中，因为D、E分别是BC、A1C的中点，所以A1B∥DE，又DE在平面AC1D内，A1B不在平面AC1D内，所以A1B∥平面AC1D． ……6分（Ⅱ）解：存在这样的点P，且点P为CC1的中点． …7分下面证明：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD．设PB1与C1D相交于点Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，10\n因为∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，所以B1P⊥C1D．因为AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D．…12分（19）解：（Ⅰ）价格在[16,17﹚内的频数为1－(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32， 所以价格在[16,17﹚内的地区数为50×0.32＝16，…2分设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x-15）×0.38=0.5，解得：x=15≈15.7（元） 5分 （Ⅱ）由直方图知，价格在的地区数为，记为、、；价格在的地区数为，记为若时，有，，3种情况；若时，有6种情况；若分别在和内时， ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有12种情况. 10分所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种. …12分（20）解：（Ⅰ）在中,设,,由余弦定理得，即，即，得. …2分又因为，，，又所以，所以所求椭圆的方程为. ……6分（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，由得，即，10\n，， …8分由得，，又，，则，，， …10分那么，则直线直线过定点. ……12分（21）解：（Ⅰ）因为，故当时，，当时，，要使在上递增，必须，因为，要使在上递增，必须，即，由上得出，当时，在上均为增函数.……6分（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解，设，所以（）随变化如下表：递减极小值递增由于在上，只有一个极小值，所以的最小值为，故当时，方程有唯一解．…………12分 10\n（22）证明：（Ⅰ）如图， =180°-2∠A．因此∠A是锐角，从而的外心与顶点A在DF的同侧，∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F，O四点共圆． ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，即O在∠DEF平分线上． …10分（23）解:（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，即. ……………4分（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得由，故可设是上述方程的两根，所以，又直线过点，故结合t的几何意义得=所以的最小值为 ……………10分（24）解：（Ⅰ）显然，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数的最小值 ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，恒成立，由于，等号当且仅当时成立，故，解之得或所以实数的取值范围为或 ……………10分10\n10
