2013年陕西高考理科数学预测试卷（二）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．B.C.D.2.已知全集集合,，下图中阴影部分所表示的集合为（）AB.C.D.3．函数的零点所在区间（）A．B.C.D.4.已知向量，且，则等于（）A．B．C． D．5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙988177996102256799532030237104根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）10\n7．若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④.其中，所有正确结论的序号是（）A．②③④B.①③④C．①②④D.①②③8.在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（）A.0个B.1个C.2个D.3个9.现有一种密码，它是由个，个，个和个组成的七位代码，则这种密码的个数是（）10.给出以下命题：（1），使得；（2）函数在区间上是单调减函数；（3）“”是“”的充分不必要条件；（4）在中，“”是“”的必要不充分条件。其中是真命题的个数是（）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11．点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为_______.12．运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为.10\n13．的展开式中的常数项为14．已知数列满足，，记数列的前项和的最大值为，则.15.选做题：考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。A.（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点和，则=_______.B.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为 ．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.（本小题共12分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程.17.（本小题共12分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.（1）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（2）用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望.10\n18.(本小题共12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．19．(本小题共12分）在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.20.(本小题共13分）已知数列的前项和为，首项，且对于任意都有。（1）求的通项公式；（2）设，且数列的前项之和为，求证：。21.（本小题共14分）已知函数有两个极值点，且直线与曲线相切于点。（1）求和（2）求函数的解析式；10\n（3）在为整数时，求过点和相切于一异于点的直线方程参考答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分）题号12345678910答案DACBDCBCDC二、填空题（本大题共5小题,每小题5分.共25分）11.612.1113.14.15.A.B.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.解：（1）………………………2分,…………………………3分因为最小正周期为,所以，解得,…………………………4分所以,…………………………5分所以.…………………………6分（2）分别由，10\n可得，………………8分所以,函数的单调增区间为；的单调减区间为………………………10分由得.所以，图象的对称轴方程为.…………………………12分17.解：(1)设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为,…………………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，……………………………3分则.……………………………6分(2)的可能取值为0,1,2,3,4,…………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，.……………………………9分0123410\n………………………………11分.………………………………12分F18.（1）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵，∴，………………………………..2分∵，∴，，在三角形中，，∴，……………………………3分∵，∴平面；……………………………4分(2)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.……………………………8分F方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，，，，，，10\n则，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；…………………………………8分(3)设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，∴直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………12分19．解：（1）由题意可得，……………………………2分所以，即………………………………4分即，即动点的轨迹的方程为……………5分（2）设直线的方程为,，则.由消整理得，………………………………6分则，即10\n.………………………………7分.…………………………………9分直线……………………………………12分即所以，直线恒过定点.……………………………………12分20.解：（Ⅰ）解法一：由①可得当时，②，由①-②可得，，所以，即当时，，所以，将上面各式两边分别相乘得，，即（），又，所以（），此结果也满足，故对任意都成立。……………7分解法二：由及可得，即，当时，（此式也适合），对任意正整数均有，当时，（此式也适合），故。……………7分（Ⅱ）依题意可得10\n……………13分21解：(1)设直线，和相切于点有两个极值点，于是从而………………4分（2）又，且为切点。③①②则，由③求得或，由①②联立知。在时，；在时，，或…9分（3）当为整数时，符合条件，此时为，设过的直线和⑥⑤④相切于另一点．则由④⑤及，可知即，再联立⑥可知，又，，此时故切线方程为：………………14分10
