2013高考总复习江苏专用（理科）：第二篇函数与基本初等函数《第5讲 函数的单调性与最值》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2010·盐城市模拟)函数f(x)＝lg(x2－3x)的单调递增区间是________．解析 由x2－3x>0得x<0或x>3.而x2－3x在(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．答案 (3，＋∞)2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．(填所有正确的编号)①y＝－x＋1；②y＝；③y＝x2－4x＋5；④y＝.解析 y＝－x＋1在R上递减；y＝在R＋上递增；y＝x2－4x＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y＝在R＋上递减．答案 ②3．定义在R的奇函数f(x)单调递增，且对任意实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝________.解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)∴f(a)＝－f(b－1)＝f(1－b)又∵f(x)单调递增∴a＝1－b即a＋b＝1.答案 14．(2010·镇江调研)若函数f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是________．解析 因为f(x)是二次函数且开口向上，所以要使f(x)在(－∞，1]上是单调递减函数，则必有－≥1，即a2－4a＋3≤0，解得1≤a≤3.答案 [1,3]5．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|7\n，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上是减函数．答案 ②6．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．解析 由f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，及f(1－x)＋f(1－x2)＜0得f(1－x)＜－f(1－x2)．所以f(1－x)＜f(x2－1)．又因为f(x)在(－1,1)上是减函数，所以故原不等式的解集为(0,1)．答案 (0,1)7．(2011·山东省莱芜检测)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y＝f(x)是减函数，若|x1|＜|x2|，则结论：①f(x1)－f(x2)＜0；②f(x1)－f(x2)＞0；③f(x1)＋f(x2)＜0；④f(x1)＋f(x2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析 由题意，得f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，从而由0≤|x1|＜|x2|，得f(|x1|)＜f(|x2|)，即f(x1)＜f(x2)，f(x1)－f(x2)＜0，只能①是正确的．答案 ①二、解答题(每小题15分，共45分)8．设f(x)＝x3－－2x＋5(1)求f(x)的单调区间(2)当x∈[1,2]时，存在f(x)＜m成立，求实数m的取值范围．解 (1)f′(x)＝3x2－x－2＝0得x＝1或－在和(1，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)为增函数在上f′(x)＜0，f(x)为减函数．∴f(x)单调增区间为和(1，＋∞)单调减区间为(2)当x∈[1,2]时显然f′(x)＞0，f(x)为增函数．7\n∴f(x)≥f(1)＝1－－2＋5＝∴m≥.9．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．(1)证明 法一 设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0.因为f(x2)－f(x1)＝－＝－＝＞0，所以f(x2)＞f(x1)，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数．法二 因为f(x)＝－，所以f′(x)＝′＝＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．(2)解 因为f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，所以f＝，f(2)＝2，故a＝.10．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明 法一 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二 设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)7\n＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解 ∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系是________．解析 由题意，得f(x)在[－2,2]上递增，且由f(x－4)＝－f(x)得f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，所以f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案 f(－25)＜f(80)＜f(11)2．(2011·盐城模拟)如果对于函数f(x)的定义域内任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)且存在两个不相等的自变量m1，m2，使得f(m1)＝f(m2)，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数g(x)的定义域、值域分别为A，B，A＝{1,2,3}，B⊆A且g(x)为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的函数g(x)共有________个．解析 分B中元素为1个，2个，3个讨论．B中只有一个元素，此时各有一个函数；B有两个元素，此时各有两个函数；B有3个元素时，不合题意．因此共有3＋6＝9个函数．答案 93．已知函数f(x)＝1－，x∈[0,1]，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1、x2，给出下列结论：①(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0；②x2f(x1)＜x1f(x2)；③f(x2)－f(x1)＞x2－x1；④＞f.其中正确结论的序号是________．解析 函数f(x)＝1－，x∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为7\n，即f(x)在x∈[0,1]上是单调递增函数，结合图象可知，命题①错误；对于命题②，作差即可知其正确；命题③可变形为＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，命题③错误；对于命题④，因为图象是凹函数，满足＞f，所以命题④正确．答案 ②④4．(2011·山东省济南外国语学校检测)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x≥2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2＞4，且(x1－2)(x2－2)＜0，则f(x1)＋f(x2)的值符号为________．解析 f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)所以f(x)关于(2,0)对称，由于当x≥2时，f(x)单调递增，可知f(x)在x＜2时也是增函数．由x1＋x2＞4知(x1－2)＋(x2－2)＞0，且(x1－2)(x2－2)＜0，x1－2，x2－2一正一负，所以不妨假设x1－2＞0，x2－2＜0，且|x1－2|＞|x2－2|，所以通过图象可知f(x1)＋f(x2)＞0.答案 恒大于05．(2011·山东省济宁模拟)设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的判断：①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③y＝f(x)在[0,1]上是增函数；④f＝0.其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上)．解析 ①由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即①正确．②由f(1－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝f(1＋x)知②正确．③由偶函数在[－1,0]与[0,1]上具有相反的单调性知③不正确．④在f(x＋1)＝－f(x)中令x＝－，得f＝－f＝－f，所以f＝0.答案 ①②④6．(★)(2011·准南一模)已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；7\n④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．解析 (数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故④正确．答案 ①③④【点评】采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性.二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·济南外国语学校质检)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)．所以f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)①因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以①等价于不等式组：或或7\n所以3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.故x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}．8．(2011·南京模拟)在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”，已知函数f(x)＝1－.(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；(2)设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，证明：|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|；(3)当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤≤1－bx恒成立，求实数a，b的取值范围．(1)解 显然f(x)在区间(0,1)上为增函数，因为f(x)＝·＝·＝·＝，所以f(x)为减函数，因此f(x)是“弱增”函数．(2)证明 |f(x1)－f(x2)|＝＝＝.因为x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，所以··(＋)＞2，所以|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.(3)解 当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤≤1－bx恒成立．所以当x＝0时，不等式显然成立，当x∈(0,1]时，等于恒成立由(1)知f(x)为减函数，1－≤f(x)＜，所以a≥且b≤1－.7
