2022中考数学压轴题菱形问题精选解析(二)例3已知菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图1，求证：△PBE∽△PDF；（2）连接PC，当PE＋PF＋PC的值最小时，求PB的长；（3）如图2，对角线AC、BD交于点O，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．CABDO备用图CPAFBDOE图2CPAFBDE图1CPAFBDOE图1M解析：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB∴∠ABD＝∠ADB又∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠PEB＝∠PFD＝90°∴△PBE∽△PDF
（2）解：如图1，连接AC交BD于O，则AC⊥BD延长FP交BC于M，则FM⊥BC∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，PM＝PE∴PE＋PF＝PM＋PF＝FMCPAFBDOE图2在Rt△AOB中，BO＝BD＝8，∴AO＝＝＝6∴AC＝2AO＝12又∵S菱形ABCD＝AC·BD＝BC·FM∴×12×16＝10·FM，即FM＝（说明PE＋PF的值不变即可得分，不必求出FM的值）因此，要使PE＋PF＋PC的值最小，只要PC取最小值所以当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE＋PF＋PC的值最小COAFBDPE图3此时PB＝BO＝BD＝8（3）设PB＝x，则PD＝BD－PB＝16－x∵PF⊥AD，∴在Rt△PFD中，DF＝DP·cos∠ADB＝(16－x)①当⊙P与⊙D外切时2\n情形一：如图2，当P点在点O左侧时，PO＝OB－PB＝8－x此时PO＋DF＝PD，∴(8－x)＋(16－x)＝16－x解得x＝6，即PB＝6COAFBDPE图4情形二：如图3，当P点在点O右侧时，PO＝PB－OB＝x－8此时PO＋DF＝PD，∴(x－8)＋(16－x)＝16－x解得x＝，即PB＝②如图4，当⊙P与⊙D内切时，PO＝PB－OB＝x－8∵PD＞DF，∴PO－DF＝PD∴(x－8)－(16－x)＝16－x，解得，x＝，即PB＝综上所述，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，PB的长为6或或例4已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．12BEACDMF（1）若CE＝1，求BC的长；（2）求证：AM＝DF＋ME．解析：（1）解：∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD，∴∠1＝∠DAC＝∠DCA＝∠ACB∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCA∴DM＝CM又∵ME⊥CD，CE＝1，∴CD＝2CE＝2∴BC＝CD＝212BEACDMFG（2）证明：延长AB和DF相交于点G，∵F为BC的中点，∴BC＝2CF＝2BF∵CD＝2CE，BC＝CD，∴CE＝CF在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵∠ECM＝∠FCM，CM＝CM，∴△CEM≌△CFM∴ME＝MF∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠G又∵∠DFC＝∠GFB，CF＝BF，∴△DCF≌△GBF∴DF＝GF∵∠2＝∠G，∠1＝∠2，∴∠1＝∠G∴AM＝GM∵MG＝GF＋MF，DF＝GF，ME＝MF∴AM＝DF＋ME2
