课时训练(二十六) 正方形及中点四边形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中说法正确的个数为( )A.4B.3C.2D.12.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了( )A.1次B.2次C.3次D.4次3.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是( )A.矩形10\nB.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形4.[2022·河北]如图K26-1是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是( )图K26-1图K26-25.[2022·黔东南州]如图K26-3,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为( )图K26-3A.60°B.67.5°C.75°D.54°6.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形(如图K26-4),现有下列四种选法,你认为错误的是( )10\n图K26-4A.①②B.②③C.①③D.②④7.[2022·黄冈]已知:如图K26-5,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 度. 图K26-58.[2022·大庆]如图K26-6,点M,N在半圆的直径AB上,点P,Q在AB上,四边形MNPQ为正方形.若半圆的半径为5,则正方形的边长为 . 图K26-69.[2022·深圳]如图K26-7,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是 . 图K26-710.[2022·武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是 . 11.[2022·义乌]如图K26-8为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为 m. 10\n图K26-812.[2022·舟山]如图K26-9,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.图K26-913.如图K26-10,四边形ABCD是正方形,点E是BC边的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.图K26-1010\n|拓展提升|14.[2022·烟台]【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图K26-11①,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图②,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度数.图K26-1110\n参考答案1.C [解析]①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故③错误;④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.2.B3.D [解析]如图,四边形EFGH是矩形,且E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG.∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD.4.A [解析]选项A不正确.理由:正方形的边长为10,所以对角线=102≈14,因为15>14,所以这个图形不可能存在.故选A.5.A [解析]连接BF,∵E为AB中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°,∵四边形ABCD为正方形,∴∠DBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.6.B [解析]此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征.①是菱形的特征;②是矩形的特征;③是矩形的特征,④是菱形的特征.而B中都是矩形的特征.故选B.7.45 [解析]由题意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°,所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.10\n8.2 [解析]连接OP,设正方形的边长为a(a>0),则ON=a2,PN=a,在Rt△OPN中,ON2+PN2=OP2,即a22+a2=(5)2,解得a=2.9.8 [解析]∵四边形ACDF是正方形,∴AC=AF,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠BAF=90°,又∠CAE+∠ECA=90°,∴∠ECA=∠BAF,则在△ACE和△FAB中,∵∠AEC=∠ABF=90°,∠ECA=∠BAF,AC=AF,∴△ACE≌△FAB(AAS),∴AB=CE=4,∴阴影部分的面积=12AB·CE=12×4×4=8.10.30°或150° [解析]如图①,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90°.∴∠CDE=150°,DE=DC,∴∠3=12(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=60°,∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90°.∴DE=DC,∠3=30°,∴∠4=12(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.11.4600 [解析]连接GC,由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四边形GECF为矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因为小敏行走的路线为B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100m.因为小聪行走的路线为B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m).10\n12.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°,∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°,∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,∴△ABE≌△ADF,∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.13.证明:取AB的中点H,连接EH.∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠1+∠AEB=90°,∴∠1=∠2,∵E是BC的中点,H是AB的中点,∴BH=BE,AH=CE,∴∠BHE=45°,10\n∵CF是∠DCG的平分线,∴∠FCG=45°,∴∠AHE=∠ECF=135°,在△AHE和△ECF中,∠1=∠2,AH=EC,∠AHE=∠ECF,∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF.14.[解析]将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA,连接PP',得到等腰直角三角形BP'P,从而得到PP'=22,∠BPP'=45°,又AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°,从而求出∠APB=45°+90°=135°.将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP',方法和上述类似,求出∠APB=45°.解:【问题解决】如图①,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.①∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°,∴PP'=22,∠BPP'=45°.又AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.10\n②【类比探究】如图②,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵P'B=PB=1,∠P'BP=90°,∴PP'=2,∠BPP'=45°.又AP'=CP=11,AP=3,∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.10
