2022年中考数学专题复习第三讲：整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式：。单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.②添括号法则：a+b+c=a+()，a-b-c=a-()③整式加减的步骤是先，再。【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)=。③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)=。④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2=。【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。即（am+bm）÷m=。三、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：不变相加，即：aman＝（a＞0，m、n为整数）2、幂的乘方：不变相乘，即：(am)n＝（a＞0，m、n为整数）3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。即：(ab)n＝（a＞0，b＞0，n为整数）。22\n4、同底数幂的除法:不变相减，即：am÷an＝（a＞0，m、n为整数）【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n=（n为奇数），(-a)n=（n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n=。】【重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。例1（2022•珠海）计算-2a2+a2的结果为（ ）A．-3aB．-aC．-3a2D．-a2考点：合并同类项．专题：推理填空题．分析：根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案．解答：解：-2a2+a2=-a2，故选D．点评：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：系数是-2+1=-1，题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目．对应训练1．（2022•莆田）如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，那么ab=．考点：同类项．专题：计算题．分析：根据同类项的定义可知，相同字母的次数相同，据此列出方程即可求出a、b的值．解答：解：∵单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，∴a+1=3b=3，解得a=2b=3，则ab=23=8．故答案为：8．点评：本题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．2．（2022•桂林）计算2xy2+3xy2的结果是（ ）A．5xy2B．xy2C．2x2y4D．x2y4考点：合并同类项．专题：计算题．分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可．解答：解：2xy2+3xy2=5xy2．故选A．点评：此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，注意掌握合并同类项的法则是关键．考点二：整式的运算。例2（2022•宿迁）求代数式（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-4ab的值，其中a=1，b=．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：先用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入计算即可．解答：解：原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2，当a=1，b=时，原式=2×12=2．点评：本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，并且注意公式的使用．22\n对应训练2．（2022•贵阳）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3，b=．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：探究型．分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-3，b=代入进行计算即可．解答：解：原式=2b2+a2-b2-（a2+b2-2ab）=2b2+a2-b2-a2-b2+2ab=2ab，当a=-3，b=时，原式=2×（-3）×=-3．点评：本题考查的是整式的化简求出，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．考点三：幂的运算。例3（2022•南平）下列计算正确的是（ ）A．a3+a2=a5B．a5÷a4=aC．a•a4=a4D．（ab2）3=ab6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：利用幂的有关运算性质及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案．解答：解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故选项错误；B、a5÷a4=a5-4=a，故选项正确；C、a•a4=a4+1=a5，故选项错误；D、（ab2）3=a3b6，故选项错误．故选B．点评：本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握．对应训练3．（2022•衢州）下列计算正确的是（ ）A．2a2+a2=3a4B．a6÷a2=a3C．a6•a2=a12D．（-a6）2=a12考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、2a2+a2=3a2，故本选项错误；B、a6÷a2=a4，故本选项错误；C、a6•a2=a8，故本选项错误；D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．考点四：完全平方公式与平方差公式例4（2022•衡阳）下列运算正确的是（ ）A．3a+2a=5a2B．（2a）3=6a3C．（x+1）2=x2+1D．x2-4=（x+2）（x-2）考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式．22\n专题：计算题．分析：根据合并同类项、幂的乘方及完全平方公式的知识，分别运算各选项，从而可得出答案．解答：解：A、3a+2a=5a，故本选项错误；B、（2a）3=8a3，故本选项错误；C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；D、x2-4=（x+2）（x-2），故本选项正确；故选D．点评：此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法则是关键．例5（2022•遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A．2cm2B．2acm2C．4acm2D．（a2-1）cm2考点：完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：根据题意得出矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，求出即可．解答：解：矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，=a2+2a+1-（a2-2a+1），=4a（cm2），故选C．点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大．对应训练4．（2022•哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）A．a3•a4=a12B．（a3）4=a12C．a+a4=a5D．（a+b）（a-b）=a2+b2考点：平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．专题：探究型．分析：分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可．解答：解：A、a3•a4=a7，故本选项错误；B、（a3）4=a12，故本选项正确；C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项错误．故选B．点评：22\n本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．5．10．（2022•绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A．2mnB．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2考点：完全平方公式的几何背景．分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．解答：解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．故选C．点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．考点四：规律探索。例6（2022•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．考点：单项式．专题：规律型．分析：通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，2的指数为（n-1）．由此可解出本题．解答：解：依题意得：（1）n为奇数，单项式为：2n-1xn；（2）n为偶数时，单项式为：-2n-1xn．综合（1）、（2），本数列的通式为：（-2）n-1•xn．故答案为：（-2）n-1xn．点评：本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．对应训练6．（2022•盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依次类推，则a2022的值为（ ）A．-1005B．-1006C．-1007D．-2022考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于，n是偶数时，结果等于，然后把n的值代入进行计算即可得解．22\n解答：解：a1=0，a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，a5=-|a4+3|=-|-2+4|=-2，…，所以，n是奇数时，an=，n是偶数时，an=，a2022==-1006．故选B．点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（2022•济宁）下列运算正确的是（ ）A．-2（3x-1）=-6x-1B．-2（3x-1）=-6x+1C．-2（3x-1）=-6x-2D．-2（3x-1）=-6x+2考点：去括号与添括号．分析：利用去括号法则，将原式去括号，进而判断即可得出答案即可．解答：解：A．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-1错误，故此选项错误；B．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x+1错误，故此选项错误；C．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-2错误，故此选项错误；D．-2（3x-1）=-6x+2，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了去括号法则，利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反得出是解题关键．2．（2022•济南）化简5（2x-3）+4（3-2x）结果为（ ）A．2x-3B．2x+9C．8x-3D．18x-3考点：整式的加减．分析：首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求解．解答：解：原式=10x-15+12-8x=2x-3．故选A．点评：本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．3．（2022•威海）下列运算正确的是（ ）A．a3•a2=a6B．a5+a5=a10C．a÷a-2=a3D．（-3a）2=-9a2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．分析：利用同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、a3•a2=a5，故本选项错误；B、a5+a5=2a522\n，故本选项错误；C、a÷a-2=a1-（-2）=a3，故本选项正确；D、（-3a）2=9a2，故本选项错误．故选C．点评：此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键．4．（2022•聊城）下列计算正确的是（ ）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x6C．（x2）3=x5D．x5÷x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案．解答：解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2•x3=x2+3=x5，故此选项错误；C、（x2）3=x6，故此选项错误；D、x5÷x3=x2，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．5．（2022•临沂）下列计算正确的是（ ）A．2a2+4a2=6a4B．（a+1）2=a2+1C．（a2）3=a5D．x7÷x5=x2考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．分析：根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．解答：解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．故选D．点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2a+b2．也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则．6．（2022•东营）若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为（ ）A．B．C．-3D．考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．分析：由3x=4，9y=7与3x-2y=3x÷32y=3x÷（32）y，代入即可求得答案．解答：解：∵3x=4，9y=7，∴3x-2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=．故选A．点评：此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x-2y变形为3x÷（32）y是解此题的关键．22\n7．（2022•滨州）求1+2+22+23+…+22022的值，可令S=1+2+22+23+…+22022，则2S=2+22+23+24+…+22022，因此2S-S=22022-1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52022的值为（ ）A．52022-1B．52022-1C．D．考点：同底数幂的乘法．专题：整体思想．分析：根据题目提供的信息，设S=1+5+52+53+…+52022，用5S-S整理即可得解．解答：解：设S=1+5+52+53+…+52022，则5S=5+52+53+54+…+52022，因此，5S-S=52022-1，S=．故选C．点评：本题考查了同底数幂的乘法，读懂题目提供的信息，是解题的关键，注意整体思想的利用．8．（2022•德州）化简：6a6÷3a3=2a3．考点：整式的除法．分析：单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以相同字母作为结果的一个因式即可．解答：解：6a6÷3a3=（6÷3）（a6÷a3）=2a3．故答案为：2a3．点评：本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则．9．（2022•滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式a4•a2=a6（答案不唯一）．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．专题：开放型．分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求．注意答案不唯一．解答：解：a4•a2=a6．故答案是a4•a2=a6（答案不唯一）．点评：本题考查了同底数幂的乘方，解题的关键是注意掌握同底数幂的运算法则．10．（2022•济宁）某种苹果的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了5千克，应找回元．考点：列代数式．分析：单价×重量=应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱．解答：解：根据题意，5千克苹果售价为5x元，所以应找回（100-5x）元．22\n故答案为（100-5x）．点评：此题考查列代数式，属基础题，简单．12．（2022•菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，问题得以解决．解答：解：解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6-1）=41．故答案为：41．点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂的第一个数的变化规律是解题的关键，也是求解的突破口．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•南昌）在下列表述中，不能表示代数式“4a”的意义的是（ ）A．4的a倍B．a的4倍C．4个a相加D．4个a相乘考点：代数式．分析：说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．解答：解：A、4的a倍用代数式表示4a，故本选项正确；B、a的4倍用代数式表示4a，故本选项正确；C、4个a相加用代数式表示a+a+a+a=4a，故本选项正确；D、4个a相乘用代数式表示a•a•a•a=a4，故本选项错误；故选D．点评：本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．2．（2022•宜昌）根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，教育经费投入应占当年GDP的4%．若设2022年GDP的总值为n亿元，则2022年教育经费投入可表示为（ ）亿元．A．4%nB．（1+4%）nC．（1-4%）nD．4%+n考点：列代数式．分析：根据2022年GDP的总值为n亿元，教育经费投入应占当年GDP的4%，即可得出2022年教育经费投入．解答：解：因为2022年GDP的总值为n亿元，教育经费投入应占当年GDP的4%，所以2022年教育经费投入可表示为4%n亿元．22\n故选A．点评：此题主要考查了列代数式，解此题的关键是根据已知条件找出数量关系，列出代数式．3．（2022•安徽）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）A．（a-10%）（a+15%）万元B．a（1-10%）（1+15%）万元C．（a-10%+15%）万元D．a（1-10%+15%）万元考点：列代数式．分析：根据3月份的产值是a万元，用a把4月份的产值表示出来（1-10%）a，进而得出5月份产值列出式子（1-10%）a×（1+15%）万元，即可得出选项．解答：解：3月份的产值是a万元，则：4月份的产值是（1-10%）a万元，5月份的产值是（1+15%）（1-10%）a万元，故选：B．点评：此题主要考查了列代数式，解此题的关键是能用a把4、5月份的产值表示出来．4．（2022•凉山州）若x是2的相反数，|y|=3，则x-y的值是（ ）A．-5B．1C．-1或5D．1或-5考点：代数式求值；相反数；绝对值．分析：根据相反数和绝对值的意义可求x和y的值，再代入计算．解答：解：根据题意，得x=-2，y=±3．当x=-2，y=3时，x-y=-2-3=-5；当x=-2，y=-3时，x-y=-2-（-3）=1．故选D．点评：此题考查求代数式的值，关键在根据相反数和绝对值的意义求x和y的值．5．（2022•广州）下面的计算正确的是（ ）A．6a-5a=1B．a+2a2=3a3C．-（a-b）=-a+bD．2（a+b）=2a+b考点：去括号与添括号；合并同类项．分析：根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案．解答：解：A、6a-5a=a，故此选项错误；B、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；C、-（a-b）=-a+b，故此选项正确；D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了合并同类项，去括号，关键是注意去括号时注意符号的变化，注意乘法分配律的应用，不要漏乘．6．（2022•河北）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a-b）等于（ ）A．7B．6C．5D．422\n考点：整式的加减．专题：计算题．分析：设重叠部分面积为c，（a-b）可理解为（a+c）-（b+c），即两个正方形面积的差．解答：解：设重叠部分面积为c，a-b=（a+c）-（b+c）=16-9=7，故选A．点评：本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．7．（2022•湛江）下列运算中，正确的是（ ）A．3a2-a2=2B．（a2）3=a5C．a3•a6=a9D．（2a2）2=2a4考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、3a2-a2=2a2，故本选项错误；B、（a2）3=a6，故本选项错误；C、a3•a6=a9，故本选项正确；D、（2a2）2=4a4，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的知识．注意理清指数的变化是解题的关键．9．（2022•鄂州）下列运算正确的是（ ）A．x3+x2=2x6B．3x3÷x=2x2C．x4•x2=x8D．（x3）2=x6考点：整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同类项的定义判断x3和x2不是同类项，不能合并；根据单项式除以单项式法则求出后即可判断B；根据同底数的幂的乘法求出即可判断C；根据幂的乘方求出后即可判断D．解答：解：A、x3+x2=x3+x2，故本选项错误；B、3x3÷x=3x2，故本选项错误；C、x4•x2=x6，故本选项错误；D、（x3）2=x6，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了同类项的定义，单项式除以单项式法则，同底数的幂的乘法，幂的乘方等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．10．（2022•苏州）若3×9m×27m=311，则m的值为（ ）A．2B．3C．4D．5考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．22\n分析：先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．解答：解：3•9m•27m=3•32m•33m=31+2m+3m=311，∴1+2m+3m=11，解得m=2．故选A．点评：本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．11．（2022•镇江）下列运算正确的是（ ）A．x2•x4=x8B．3x+2y=6xyC．（-x3）2=x6D．y3÷y3=y考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：分别根据同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、x2•x4=x6，故本选项错误；B、3x与2y不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、（-x3）2=x6，故本选项正确；D、y3÷y3=1，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．12．（2022•柳州）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）A．（x+a）（x+a）B．x2+a2+2axC．（x-a）（x-a）D．（x+a）a+（x+a）x考点：整式的混合运算．分析：根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的表达式．解答：解：根据图可知，S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2，故选C．点评：本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌握．13．（2022•杭州）下列计算正确的是（ ）A．（-p2q）3=-p5q3B．（12a2b3c）÷（6ab2）=2abC．3m2÷（3m-1）=m-3m2D．（x2-4x）x-1=x-4考点：整式的混合运算；负整数指数幂．分析：22\n根据幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的乘法和除法分别进行计算，即可判断．解答：解：A、（-p2q）3=-p6q3，故本选项错误；B、12a2b3c）÷（6ab2）=2abc，故本选项错误；C、3m2÷（3m-1）=，故本选项错误；D、（x2-4x）x-1=x-4，故本选项正确；故选D．点评：此题考查了整式的混合运算，用到的知识点是幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的乘法和除法等，需熟练掌握运算法则，才不容易出错．14．（2022•白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）A．m+3B．m+6C．2m+3D．2m+6考点：平方差公式的几何背景．分析：由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．解答：解：依题意得剩余部分为（m+3）2-m2=m2+6m+9-m2=6m+9，而拼成的矩形一边长为3，∴另一边长是（6m+9）÷3=2m+3．故选：C．点评：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．15．（2022•武汉）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a4的值为（ ）A．B．C．D．考点：规律型：数字的变化类．专题：探究型．分析：将a1=代入an=得到a2的值，将a2的值代入an=得到a3的值，将a3的值代入an=得到a4的值．22\n解答：解：将a1=代入an=得到a2=，将a2的值代入an=得到a3=，将a3的值代入an=得到a4=．故选A．点评：本题考查了数列的变化规律，重点强调了后项与前项的关系，能理解通项公式并根据通项公式算出具体数．二、填空题16．（2022•南通）单项式3x2y的系数为．考点：单项式．分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．解答：解：3x2y=3•x2y，其中数字因式为3，则单项式的系数为3．故答案为：3．点评：本题考查了单项式的系数，确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．19．（2022•盐城）若x=-1，则代数式x3-x2+4的值为．考点：代数式求值．专题：计算题．分析：把x=-1代入代数式进行计算即可得解．解答：解：x3-x2+4，=（-1）3-（-1）2+4，=-1-1+4，=-2+4，=2．故答案为：2．点评：本题考查了代数式求值，把x的值代入进行计算即可得解，比较简单．20．（2022•铜仁地区）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出的值为．考点：代数式求值．专题：图表型．分析：根据题目所给程序依次计算即可．解答：解：（5+5）2-3=100-3=97，故答案为97．点评：本题考查了代数式求值，弄清运算程序是解题的关键．21．（2022•泰州）若2a-b=5，则多项式6a-3b的值是．22\n考点：代数式求值．专题：整体思想．分析：将多项式提公因式，得到3（2a-b），然后将2a-b=5直接代入即可．解答：解：∵2a-b=5，∴6a-3b=3（2a-b）=3×5=15．故答案为15．点评：本题考查了代数式求值，应用整体思想是解题的关键．22．（2022•河北）已知y=x-1，则（x-y）2+（y-x）+1的值为．考点：代数式求值．专题：整体思想．分析：根据已知条件整理得到x-y=1，然后整体代入计算即可得解．解答：解：∵y=x-1，∴x-y=1，∴（x-y）2+（y-x）+1=12+（-1）+1=1．故答案为：1．点评：本题考查了代数式求值，注意整体思想的利用使运算更加简便．23．（2022•黔东南州）二次三项式x2-kx+9是一个完全平方式，则k的值是±6．考点：完全平方式．专题：常规题型．分析：先根据两平方项项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式求解即可．解答：解：∵x2-kx+9=x2-kx+32，∴-kx=±2×x×3，解得k=±6．故答案为：±6．点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．24．（2022•遵义）已知x+y=-5，xy=6，则x2+y2=13．考点：完全平方公式．分析：把x+y=5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值．解答：解：∵x+y=-5，∴（x+y）2=25，∴x2+2xy+y2=25，∵xy=6，∴x2+y2=25-2xy=25-12=13．故答案为：13．点评：本题考查了完全平方公式，完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．25．（2022•镇江）化简：（m+1）2-m2=2m+1．考点：完全平方公式；平方差公式．分析：先根据完全平方公式展开，再合并同类项即可．解答：解：原式=m2+2m+1-m2=2m+1，故答案为：2m+1．点评：本题考查了完全平方公式和合并同类项，注意：（a-b）2=a2-2ab+b2，合并同类项得法则是把同类项得系数相加，字母和字母的指数不变．26．（2022•扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2322\n=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2022，则m的值是（ ）A．43B．44C．45D．46考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2022所在的奇数的范围，即可得解．解答：解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…∴m3分裂后的第一个数是m（m-1）+1，共有m个奇数，∵45×（45-1）+1=1981，46×（46-1）+1=2071，∴第2022个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴m=45．故选C．点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．27．（2022•遵义）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可．解答：解：∵分数的分子分别是：22=4，23=8，24=16，…分数的分母分别是：22+3=7，23+3=11，24+3=19，…∴第n个数是．故答案为：．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．28．（2022•孝感）2022年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如表所示：年份189619001904…2022届数123…n中n值等于．考点：规律型：数字的变化类．分析：第1届相应的举办年份=1896+4×（1-1）=1892+4×1=1896年；第2届相应的举办年份=1896+4×（2-1）=1892+4×2=1900年；第3届相应的举办年份=1896+4×（3-1）=1892+4×3=1904年；…第n届相应的举办年份=1896+4×（n-1）=1892+4n年，根据规律代入相应的年数即可算出届数．解答：解：观察表格可知每届举办年份比上一届举办年份多4，22\n则第n届相应的举办年份=1896+4×（n-1）=1892+4n年，1892+4n=2022，解得：n=30，故答案为：30．点评：此题主要考查了数字的变化，解题关键是弄清题意，根据题目中给出的规律列出代数式．本题每届举办年份比上一届举办年份多4．29．（2022•厦门）已知a+b=2，ab=-1，则3a+ab+3b=5；a2+b2=6．考点：完全平方公式．分析：由3a+ab+3b=3（a+b）+ab与a2+b2=（a+b）2-2ab，将a+b=2，ab=-1代入即可求得答案．解答：解：∵a+b=2，ab=-1，∴3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（-1）=5；a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-1）=6．故答案为：5，6．点评：此题考查了完全平方公式的应用．此题难度不大，注意掌握公式变形是解此题的关键．31．（2022•成都）已知当x=1时，2ax2+bx的值为3，则当x=2时，ax2+bx的值为．考点：代数式求值．专题：计算题．分析：将x=1代入2ax2+bx=3得2a+b=3，然后将x=2代入ax2+bx得4a+2b=2（2a+b），之后整体代入即可．解答：解：将x=1代入2ax2+bx=3得2a+b=3，将x=2代入ax2+bx得4a+2b=2（2a+b）=2×3=6．故答案为6．点评：本题考查了代数式求值，利用整体思想是解题的关键．32．（2022•绵阳）一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为cm2．考点：整式的混合运算；一元一次方程的应用．专题：计算题．分析：先设正方形的边长是xcm，根据题意可得（x+5）（x-2）=x2，解得x=，进而可求面积．解答：解：正方形的边长是xcm，则（x+5）（x-2）=x2，解得x=，∴S=x2=．故答案是．点评：本题考查了整式的混合运算、解一元一次方程，解题的关键是求出x．22\n45．（2022•泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x-1）2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是11．考点：整式的混合运算．分析：利用x2+3x+2=（x-1）2+a（x-1）+b，将原始进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．解答：解：∵x2+3x+2=（x-1）2+a（x-1）+b，=x2+（a-2）x+（b-a+1），∴a-2=3，∴a=5，∵b-a+1=2，∴b-5+1=2，∴b=6，∴a+b=5+6=11，故答案为：11．点评：此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a-2）x+（b-a+1）是解题关键．33．（2022•盐城）一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个月他们就募集到资金1万元．随着影响的扩大，第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次完成突破10万元时，相应的n的值为14．（参考数据：1.25≈2.5，1.26≈3.0，1.27≈3.6）考点：同底数幂的乘法．分析：由题意得第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第三个月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n-1万元，根据1.26×1.27=10.8＞10，可得n-1=6+7，解得n=14．解答：解：第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第三个月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n-1万元，由题意得：1（1+20%）n-1＞10，1.2n-1＞10，∵1.26×1.27=10.8＞10，∴n-1=6+7=13，n=14，故答案为：14．点评：此题主要考查了增长率问题，以及同底数幂的乘法，关键是根据题意列出第n个月募集到资金，再根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．34．（2022•佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为2m+4．22\n考点：平方差公式的几何背景．分析：根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．解答：解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m+4）2-m2=（m+4+m）（m+4-m），解得x=2m+4．故答案为：2m+4．点评：本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．三、解答题35．（2022•玉林）计算：（a-2）2+4（a-1）考点：整式的混合运算．专题：探究型．分析：根据完全平方公式及整式混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=a2+4-4a+4a-4=a2．点评：本题考查的是整式的混合运算，即在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．36．（2022•盐城）（1）计算：|-|-20220-sin30°；（2）化简：（a-b）2+b（2a+b）．考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）分别根据绝对值的性质、0指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先去括号，再合并同类项即可．解答：解：（1）原式=-1-=-1；（2）原式=a2+b2-2ab+2ab+b2=a2+2b2．点评：22\n本题考查的是实数的运算及整式的混合运算，熟知绝对值的性质、0指数幂、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．37．（2022•广东）先化简，再求值：（x+3）（x-3）-x（x-2），其中x=4．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：探究型．分析：先把整式进行化简，再把x=4代入进行计算即可．解答：解：原式=x2-9-x2+2x=2x-9，当x=4时，原式=2×4-9=-1．点评：本题考查的是整式的混合运算-化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．38．（2022•株洲）先化简，再求值：（2a-b）2-b2，其中a=-2，b=3．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：首先将整式利用完全平方公式展开，再合并同类项，再将a，b代入求出即可．解答：解：原式=4a2-4ab+b2-b2 =4a2-4ab．将a=-2，b=3代入上式得：上式=4×（-2）2-4×（-2）×3=16+24=40．点评：此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，根据有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，再合并同类项是解题关键．39．（2022•泉州）先化简，再求值：（x+3）2+（2+x）（2-x），其中x=-2．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：探究型．分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=-2代入进行计算即可．解答：解：原式=x2+6x+9+4-x2=6x+13当x=-2时，原式=6×（-2）+13=1．点评：本题考查的是整式的混合运算-化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．40．（2022•杭州）化简：2[（m-1）m+m（m+1）][（m-1）m-m（m+1）]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？考点：整式的混合运算—化简求值．分析：根据单项式乘以多项式法则先计算括号里的乘法，再去括号合并同类项，即可算出结果．解答：解：2[（m-1）m+m（m+1）][（m-1）m-m（m+1）]，=2（m2-m+m2+m）（m2-m-m2-m），=-8m3，原式=-8m3，表示一个能被8整除的数．点评：此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算顺序，先算乘法，后算加减，注意符号的变化，运用乘法分配律是不要漏乘．41．（2022•长春）先化简，再求值：（a+2）（a-2）+2（a2+3），其中a=．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．22\n分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用乘法分配律将2乘到括号里边，合并后得到最简结果，然后将a的值代入计算，即可求出原式的值．解答：解：（a+2）（a-2）+2（a2+3）=a2-4+2a2+6=3a2+2，当a=时，原式=3×()2+2=2。点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，去括号法则，以及乘法分配律的运用，做化简求值题时要注意将原式化为最简再代值．42．（2022•珠海）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．解答：解：（1）①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25，②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×369=693×36；故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）22\n=11（10a+b）（10b+a）右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），左边=右边，所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．点评：本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．22
