2022年中考数学专题复习第二讲：实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算。1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有、、、、、和共六种，运算顺序是先算，再算，最后算，有括号时要先算，同一级运算，按照的顺序依次进行。2、运算法则：加法：同号两数相加，取的符号，并把相加，异号两数相加，取的符号，并用较大的减去较小的，任何数同零相加仍得。减法，减去一个数等于。乘法：两数相乘，同号得，异号得，并把相乘。除法：除以一个数等于乘以这个数的。乘方：(-a)2n+1=(-a)2n=3、运算定律：加法交换律：a+b=加法结合律：(a+b)+c=乘法交换律：ab=乘法结合律：（ab）c=分配律：（a+b）c=二、零指数、负整数指数幂。=（a≠0）a-p=（a≠0）【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（）-1=】三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照的原则进行比较以外，，还有比较法、比较法等，两个负数大的反而小。2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为。【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较的大小，可以先确定和的取值范围，然后得结论：+2-2。】【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。7\n例1（2022•西城区）已知的整数部分为a，小数部分为b，则代数式a2-a-b的值为．思路分析：由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，即得出a和b，然后代入代数式求值．解：∵3＜＜4，∴a=3，b=-3，则a2-a-b=32-3-（-3）=9-3-+3=9-，故答案为：9-．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．例2（2022•台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=，乙=，丙=，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（ ）A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲=乙=丙思路分析：本题可先估算无理数的整数部分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小．解：∵3=＜＜=4，∴8＜5+＜9，∴8＜甲＜9；∵4=＜＜=5，∴7＜3+＜8，∴7＜乙＜8，∵4=＜＜=5，∴5＜1+＜6，∴丙＜乙＜甲故选A．点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．对应训练7\n1．（2022•南京）12的负的平方根介于（ ）A．-5与-4之间B．-4与-3之间C．-3与-2之间D．-2与-1之间1．B．2．（2022•宁夏）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b=．2．7考点二：实数的混合运算。例3（2022•岳阳）计算：．思路分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式=3-+3-1+2×=3-+3-1+=5．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．对应训练3．（2022•肇庆）计算：．3．解：原式===．考点三：实数中的规律探索。例4（2022•张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad-bc．例如：，．7\n（1）按照这个规定，请你计算的值；（2）按照这个规定，请你计算：当x2-4x+4=0时，的值．思路分析：（1）根据符号的意义得到=5×8-7×6，然后进行实数的乘法运算，再进行实数的减法运算即可；（2）利用配方法解方程x2-4x+4=0得x=2，则=，然后根据符号的意义得到3×1-4×1，再进行实数的运算．解：（1）=5×8-7×6=-2；（2）由x2-4x+4=0得（x-2）2=4，∴x=2，∴==3×1-4×1=-1．点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．对应训练【聚焦山东中考】一、选择题1．（2022•泰安）下列各数比-3小的数是（ ）A．0B．1C．-4D．-11．C2．（2022•聊城）计算的结果是（ ）A．B．C．-1D．12．A3．（2022•菏泽）在算式的7\n中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）A．加号B．减号C．乘号D．除号3．D二、填空题1．（2022•德州）．（填“＞”、“＜”或“=”）1．＞2．（2022•济南）计算：2sin30°=．2．-3解：2sin30°=2×-4=1-4=-3．故答案为：-3．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•重庆）在-3，-1，0，2这四个数中，最小的数是（ ）A．-3B．-1C．0D．21．A2．（2022•桂林）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的城市是（ ）A．桂林11.2℃B．广州13.5℃C．北京-4.8℃D．南京3.4℃2．C3．（2022•莆田）下列各数中，最小的数是（ ）A．-lB．0C．1D．3．A4．（2022•肇庆）计算-3+2的结果是（ ）A．1B．-1C．5D．-54．B5．（2022•南通）计算6÷（-3）的结果是（ ）A．B．-2C．-3D．-185．B6．（2022•滨州）-23等于（ ）A．-6B．6C．-8D．87\n6．C7．（2022•黑龙江）若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2022的值是（ ）A．-1B．0C．1D．20227．C8．（2022•义乌市）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间8．B9．（2022•天津）估计的值在（ ）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间9．B二、填空题10．（2022•绵阳）比-1℃低2℃的温度是℃．（用数字填写）10．-311．（2022•扬州）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是-2℃，那么当天的日温差是．11．8℃13．（2022•云南）写出一个大于2小于4的无理数：。13．、、、π…（只要是大于小于无理数都可以）14．（2022•陕西）计算2cos45°-+=．14．15．（2022•荆门）计算．15．-116．（2022•沈阳）今年沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，则今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数约为%（结果保留一位小数）．16．28.6解：∵沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，∴去年人均最低工资=900-200=700元，∴今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数=200700≈0.286=28.6%．故答案为：28.6．17．（2022•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100①S=100+99+98+…+3+2+1②①+②：有2S=（1+100）×100解得：S=5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=．17．12解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，7\n则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2+2n-168=0，解得n1=12，n2=-14（舍去）．故答案为：12．三、解答题18．（2022•珠海）计算：．18．解：原式=2-1+1-2=0．19．（2022•株洲）计算：2-1+cos60°-|-3|．19．解：原式=．20．（2022•重庆）计算：．20．解：原式=2+1-5+1+9=8．7
