【2022版中考12年】浙江省杭州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题11圆一、选择题1.（2022年浙江杭州3分）过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm．则OM的长为【】．（A）cm（B）cm（C）2cm（D）3cm【答案】B。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】⊙O内一点M的最长的弦是过点M的直径；最短的弦是过点M垂直于过点M的直径的弦。如图，AB是最长的弦，CD是最短的弦，连接OC。∵AB=6cm，CD=4cm；∴OC=OA=3cm，CM=2cm。∴（cm）。故选B。2.（2022年浙江杭州3分）如图，点C为⊙O的弦AB上的一点，点P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则有【】（A）OC2＝CA•CB（B）OC2＝PA•PB（C）PC2＝PA•PB（D）PC2＝CA•CB22\n【答案】D。【考点】垂径定理，相交弦定理。【分析】延长PC交圆于D，连接OP，OD。根据相交弦定理，得CP•CD=CA•CB。∵OP=OD，OC⊥PC，∴PC=CD。∴PC2=CA•CB。故选D。3.（2022年浙江杭州3分）如图，三个半径为的圆两两外切，且ΔABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么ΔABC的周长是【】（A）12+6（B）18+6（C）18+12（D）12+12【答案】B。【考点】相切圆的性质，等边三角形、矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】∵三圆两两相切，∴外切的△ABC为等边三角形（证明略）。22\n如图，连接 BO2，CO3，分别过点O1，O2作BC的垂线，垂足为D，E。∴BO2平分∠ABC，∠O2BC＝30° 。∵O2D⊥BD ，∴。∵O2D=，∴。同理CE＝3 。∵O2O3ED是矩形（证明略），∴DE＝O2O3＝2。∴BC＝BD+DE+EC＝3+3+2＝6+2 。∴△ABC的周长为： 3BC＝3×（6+2）＝18+6。故选B。4.（2022年浙江杭州3分）如图，一圆内切于四边形ABCD，AB=16，CD=10，则四边形的周长为【】（A）50（B）52（C）54（D）565.（2022年浙江杭州大纲卷3分）如图，若圆心角∠ABC＝100º，则圆周角∠ADC＝【】A．80ºB．100ºC．130ºD．180º【答案】C。【考点】圆周角定理。【分析】∵∠ABC=100°，∴优弧所对的圆心角是360°－100°=260°。∴∠ADC=260°÷2=130°。故选C。22\n6.（2022年浙江杭州课标卷3分）如图，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A=40°，则∠APB等于【】A．25°B．20°C．40°D．35°【答案】A。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形内角和定理，余角性质。【分析】如图，连接OP，∵AP为圆O的切线，P为切点，∴∠OPA=90°。∵∠A=40°，∴∠O=90°－∠A=50°。∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP=（180°－∠O）÷2=65°。∴∠APB=90°－∠OPB=25°。故选A。7.（2022年浙江杭州3分）如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与AB、重合，则∠BPC等于【】A.B.C.D.22\n8.（2022年浙江杭州3分）以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则ΔADE和直角梯形EBCD周长之比为【】A.3:4B.4:5C.5:6D.6:7【答案】D。【考点】正方形和圆的切线性质，勾股定理。【分析】∵AB、DE、DC是圆的切线，∴BE=FE，CD=FD。不妨设正方形边长为1，BE=FE=a。在Rt△ADE中，，即，解得。9.（2022年浙江杭州3分）如图，5个圆的圆心在同一条直线上,且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为【】22\nA.48B.24C.12D.6【答案】B。【考点】圆的周长，相切圆的性质。【分析】∵大圆直径是12，∴大圆周长为。又∵5个圆的圆心在同一条直线上,且互相相切，∴小圆直径是3，小圆周长为。∴这5个圆的周长的和为。故选B。10.（2022年浙江杭州3分）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是【】 A．内含 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm．则d=6﹣2=4。∴两圆内切。故选B。11.（2022年浙江杭州3分）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是【】 A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径22\n二、填空题1.（2022年浙江杭州4分）如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连结AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有▲（把你认为成立的比例式的序号都填上）【答案】②③。【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠C，∠PAD=∠B，∴△PAD∽△PCB。∴。∴②正确，①不正确。∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB。∴。∴③正确。22\n综上所述，②③正确。2.（2022年浙江杭州4分）四个半径均为r的圆如图放置，相邻两圆交点之间的距离也等于r，不相邻两圆圆周两点间的最短距离等于2，则r等于▲，图中阴影部分的面积等于（精确到0.01）【答案】；4.37。【考点】相交两圆的性质，勾股定理。【分析】根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。∵相邻两圆交点之间的距离等于r，∴相邻两圆的圆心距是r。根据题意，得四个圆心组成的图形是正方形。∵不相邻两圆圆周两点间的最短距离等于2，∴，即。解得（舍支负值）。∴。22\n又阴影部分的面积即正方形的面积减去一个圆的面积再加上两个相邻圆的公共部分的面积，即约为4.37。3.（2022年浙江杭州4分）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是▲。4.（2022年浙江杭州4分）如图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于⊙O的直径AB。⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D。已知⊙O1的半径为r，则AO1=▲；DE=▲【答案】；。【考点】相切两圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，连接DO1，∵AO=OC=2OO1=2r，22\n∴在RtΔAOO1中，由勾股定理得。∵AD是⊙O1的切线，∴O1D⊥AD，AD=AO=2r。设DE=x，则，DO1=r，AO=2r。∴在RtΔEAO中，由勾股定理得。∴由RtΔEDO1∽RtΔEAO得，即。解得，。∴DE=。5.（2022年浙江杭州4分）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上。①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是▲_；②若正方形DEFG的面积为100，且ΔABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=▲。【答案】；21。【考点】正方形的性质和判定，勾股定理，全等、相似三角形的判定和性质，圆周角定理。【分析】①设半圆圆心P，连接PF，PE，∵正方形DEFG中，∠FGP=∠EDP=90°，FG=ED，⊙O中，FP=EP，在Rt△FPG与Rt△EPD中，FP=EP，FG=ED，22\n∴Rt△FPG≌Rt△EPD（HL）。∴PG=PD=GD=FG。设GP=a，则FG=2a，∵Rt△PFG中，∠FGP =90°，∴。∴半圆的半径与正方形边长的比=。②作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N， 连接OA，OB，EA，EB∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=∠AEB=90°（直径对的圆周角90°）。∵OM⊥AC于M，ON⊥BC于N，∴∠OMC=∠ONC=∠MAN=90°。∴四边形ONCM是矩形。又∵O是△ABC内心，且内切圆半径r=4，∴OD=DN=OM=4。 ∴矩形ONCM是正方形。∴NC=CM=OM=4。6.（2022年浙江杭州4分）如图,已知△ABC，AC=BC=6，∠C=900．O是AB的中点，⊙O与22\nAC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G.则CG=▲.【答案】。【考点】等腰直角三角形的性质，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，连接OD，∵△ABC中，AC=BC=6，∠C=900，∴AB=。∵O是AB的中点，∴AO=BO=。∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC。∴OD∥BC，OD=0F=3。7.（2022年浙江杭州4分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=▲°22\n三、解答题1.（2022年浙江杭州10分）如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，⊙O1与⊙O2的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5．（1）求线段AB的长；（2）证明：．【答案】解：（1）PAB切⊙O1与⊙O2与A、B，∴AO1⊥PA，BO2⊥PB。∴AO1∥BO2。∴∠AO1O2+∠BO2O1=180°。又∵在△AO1C和△BO2C中，两三角形内角和为360°，∴∠O1AC+∠O1CA+∠O2BC+∠O2CB=180°。∵O1A=O1C，O2B=O2C，∴∠O1AC=∠O1CA，∠O2BC=∠O2CB。∴∠ACO1+∠BCO2=90°。∴∠ACB=90°。22\n在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=5，∴。（2）证明：由（1），知∠ACO1+∠BCO2=90°，而∠O2BC=∠O2CB，且∠O2BC+∠CBA=90°。∴∠PCA=∠PBC。又∠P为公共角，∴△PAC∽△PCB。∴，即PC2=PA•PB。【考点】相切两圆的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由题意可知AO1和BO2平行，根据同旁内角互补，可知∠AO1O2+∠BO2O1=180°，根据两个三角形内角和为360°，且O1A=O1C，O2B=O2C，可知∠ACO1+∠BCO2=90°，然后根据勾股定理求出AB。（2）证明PC2=PA•PB，只要证△PAC∽△PCB，而在这两个三角形中已经有一个公共角∠P，只需再找一组角即可，根据（1）可得等角的余角相等，可知∠PCA=∠PBC，即可知相似，然后得出等积式。2.（2022年浙江杭州8分）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120º。求：⊙C的半径和圆心C的坐标。【答案】解：连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径。由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°－120°=60°，得∠BAO=60°.22\n又∵AO=4，∴。∴⊙C的半径为4，。过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，则。∴C点坐标为（－，2）。3.（2022年浙江杭州8分）要在如图的一个机器零件（尺寸单位：mm）表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积（参考公式：，，，其中为底面半径，为高线，为母线，取3.14，结果保留3个有效数字）。【答案】解：如图，连接PO′，则由勾股定理可得。22\n∴这个零件的表面积为mm2。【考点】圆柱和圆锥表面积的计算，等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出上方圆锥的母线长，应用公式计算即可。4.（2022年浙江杭州8分）直线AB交圆于点A，B，点M在圆上，点P在圆外，且点M，P在AB的同侧，∠AMB=50º。设∠APB=，当点P移动时，求的变化范围，并说明理由。【答案】解：设PB与圆相交于点C，连接AC。∵∠AMB=50º=∠ACB＞∠APB=。又∵当点P在AB上时，∠APB=，∴的变化范围为。【考点】圆周角定理，三角形外角性质。【分析】由当点P在AB上时的角度可知∠APB大于0度，由圆周角定理和三角形外角性质可知∠APB小于500。5.（2022年浙江杭州8分）已知AC切⊙O于A，CB顺次交⊙O于D、B点，AC=6，BD=5，连接AD、AB。（1）证明：△CAD∽△CBA；（2）求线段DC的长。22\n（2）求线段DC的长，可以通过证明△CAD∽△CBA得，求出DC。6.（2022年浙江杭州大纲卷10分）如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA＝。求（1）∠POA的度数；（2）弦AB的长；（3）阴影部分的面积。【答案】解：（1）∵PA切圆与A，∴OA⊥PA。又∵OA＝4，PA＝，∴。∴∠POA=60°。（2）设AB与OP的交点为D，22\n7.（2022年浙江杭州6分）如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）。（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值。【答案】解：（1）∵连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形，∴r：a=1：1。∵连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，∴r：b=sin60°=。（2）∵T1：T2的边长比是，∴。【考点】正六边形和圆的性质，正三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似形的性质。22\n【分析】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值。（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方。由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比。8.（2022年浙江杭州12分）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．【答案】解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE。又∵OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，又∵∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC。又∵∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°。（2）∵AE=3，∠A=30°，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3。∵OB⊥MN，∴B为MN的中点。22\n又∵MN=2，∴MB=MN=。连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，∴。在△COB中，∠BOC=30°，∵cos∠BOC=cos30°=，∴BO=OC。∴。又∵OC+EC=OM=R，∴。整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5。∴R=5。（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：22\n延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，△FDE即为所求。∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，∴FD=5。则C△EFD=5+10+5=15+5，由（2）可得C△COB=3+，22\n22
