2022年上海市徐汇区中考数学二模试卷一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2022•徐汇区二模）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A．B．C．D．考点：同类二次根式．分析：化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．解答：解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；D、与被开方数相同，故是同类二次根式．故选D．点评：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 2．（4分）（2022•徐汇区二模）将抛物线y=（x+2）2向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为（ ） A．y=x2B．y=x2﹣2C．y=（x+2）2+2D．y=（x+2）2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：求出平移前后的两个抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．解答：解：抛物线y=（x+2）2的顶点坐标为（﹣2，0），向下平移2个单位后的顶点坐标是（﹣2，﹣2），所以，平移后得到的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣2．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析式是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减，上加下减”． 3．（4分）（2022•徐汇区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，那么x的取值范围是（ ） A．m＞2B．m＜2C．m＞2且m≠1D．m＜2且m≠1考点：根的判别式．分析：根据“一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个不相等的实数根”可得△=b2﹣4ac＞0，再代入a、b、c的值进行计算即可．解答：解：由题意得：a=1，b=﹣2，c=m﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）=4﹣4m+4=8﹣4m＞0，解得：m＜2，故选：B．点评：此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 4．（4分）（2022•徐汇区二模）下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（ ） A．0和2B．0和C．0和1D．0和015\n考点：方差；算术平均数．分析：先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．解答：解：这组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数是（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0；则方差=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2；故选A．点评：此题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 5．（4分）（2022•徐汇区二模）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．四条边都相等B．对角线相等 C．对角线平分一组对角D．对角线垂直且互相平分考点：正方形的性质；菱形的性质．分析：根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．解答：解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．故选B．点评：本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对图形的性质的理解记忆是解题的关键． 6．（4分）（2022•徐汇区二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（ ） A．相离B．相切C．相交D．无法确定考点：直线与圆的位置关系．分析：过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD，和⊙B的半径比较，即可得出答案．解答：解：过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150°，∴∠DAB=30°，∴BD=AB=×2=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是项切，故选A．点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的推理能力． 二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）15\n7．（4分）（2022•徐汇区二模）计算：= ﹣1 ．考点：分式的加减法．分析：应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化简．解答：解：==﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了同分母分式的加减运算法则．题目比较简单，解题需细心． 8．（4分）（2022•徐汇区二模）计算：2a（3a﹣1）= 6a2﹣2a ．考点：单项式乘多项式．分析：根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．解答：解：2a（3a﹣1）=6a2﹣2a．故答案为：6a2﹣2a．点评：本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 9．（4分）（2022•徐汇区二模）方程x﹣1=的解是 x1=1或x2=2 ．考点：无理方程．分析：先把方程两边分别平方，得到（x﹣1）2=x﹣1，再求出方程的解，然后进行检验即可．解答：解：x﹣1=，（x﹣1）2=x﹣1，（x﹣1）2﹣（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0或x﹣2=0，x1=1或x2=2；经检验x1=1或x2=2是原方程的解；故答案为：x1=1或x2=2．点评：此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边分别平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验． 10．（4分）（2022•市中区二模）已知函数f（x）=，那么f（﹣1）= ．考点：函数值．专题：计算题．分析：把自变量的值x=﹣1代入函数关系式进行计算即可得解．解答：解：f（﹣1）==．故答案为：．点评：本题考查了函数值求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可，比较简单． 15\n11．（4分）（2022•徐汇区二模）如图，点A在反比例函数的图象上，那么该反比例函数的解析式是 ．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：设反比例函数解析式为y=，将A（1，3）代入y=即可得到k的值，从而得到反比例函数解析式．解答：解：设反比例函数解析式为y=，将A（1，3）代入y=得，k=1×3=3，则反比例函数解析式为y=，．故答案为y=．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 12．（4分）（2022•徐汇区二模）如图，在△ABC中，中线AD和BE相交于点G，如果=，=，那么向量= ．考点：*平面向量．分析：由，，利用三角形法则，即可求得的长，又由在△ABC中，中线AD和BE相交于点G，可求得的长，继而求得的长，又由重心的性质，即可求得答案．解答：解：∵，，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中，中线AD和BE相交于点G，∴==（﹣）=﹣，15\n∴=+=+（﹣）=+，∴==（+）=．故答案为：．点评：此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 13．（4分）（2022•徐汇区二模）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，如果∠BAC=120°，那么cosB= ．考点：特殊角的三角函数值；平行线的性质．分析：根据平行线的性质求出∠ACD的度数，根据CB平分∠ACD求出∠BCD的度数，根据∠B=∠BCD得出∠B的度数即可求出cosB的值．解答：解：∵AB∥CD，∠BAC=120°，∴∠ACD=180°﹣∠BAC=60°，∵CB平分∠ACD，∴∠BCD=∠ACD=30°，∴∠B=∠BCD=30°，∴cos∠B=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值及平行四边形的性质，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 14．（4分）（2022•徐汇区二模）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．考点：概率公式；轴对称图形；中心对称图形．分析：先判断出线段、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆中既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．解答：解：∵在这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：线段、正六边形、菱形、圆共4个，∴10张卡片上的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是=．15\n故答案为：．点评：本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 15．（4分）（2022•徐汇区二模）为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近450名九年级学生中，随机抽取50名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下统计表（给出部分数据，除[90，100]组外每组数据含最低值，不含最高值）：分数段[0，60][60，70][70，80][80，90][90，100]频数520频率0.120.1根据上表的信息，估计该校初三年级本次数学测试的优良率（80分及80分以上）约为 38% （填百分数）．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体．分析：求出[0，60]与[70，80]的频率之和，再根据各组频率之和等于1求出[80，90]和[90，100]的频率之和，即可得解．解答：解：由图可知，[0，60]与[70，80]的频率之和==0.5，所以，[80，90]和[90，100]的频率之和=1﹣0.5﹣0.12=0.38=38%．故答案为：38%．点评：本题考查了频数分布直方表，用样本估计总体，解答本题的关键在于整体思想的利用． 16．（4分）（2022•徐汇区二模）如图，⊙O半径为5，△ABC的顶点在⊙O上，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，cotB=2，那么AD的长为 2 ．考点：垂径定理；勾股定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：由AB=AC，AD垂直于BC，利用垂径定理得到AD延长线过圆心O，连接OB，由cotB得到BD与AD的关系，设出AD及BD，由OA﹣AD表示出OD，在直角三角形OBD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AD的长．解答：解：延长AD，由垂径定理得AD的延长线过圆心O，连接OB，∵cotB==2，∴设AD=x，则有BD=2x，∴OD=OA﹣AD=5﹣x，在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OB2=BD2+OD2，即25=4x2+（5﹣x）2，解得：x=2或x=0（舍去），15\n则AD=2．故答案为：2点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 17．（4分）（2000•安徽）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组 （只要填写一个即可）．考点：高次方程．专题：压轴题；开放型．分析：从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可．解答：解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x所以符合要求的方程组为．点评：根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组． 18．（4分）（2022•徐汇区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，将△ABC绕点A旋转后，点C落在射线BA上，点B落到点D处，那么sin∠ADB的值等于 或 ．考点：旋转的性质．分析：作出图形，设BC=4a，AB=5a，求出AC，再根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AC′，BC=C′D，然后分①逆时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，根据等边对等角求出∠ADB=∠ABD，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；②顺时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，过点A作AE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据锐角的正弦值等于对边比斜边列式计算即可得解．解答：解：∵∠C=90°，sinA=，∴设BC=4a，AB=5a，则AC==3a，根据旋转的性质，AB=AD=5a，AC=AC′=3a，BC=C′D=4a，①如图1，逆时针旋转时，BC′=AB+AC′=5a+3a=8a，15\n根据勾股定理，BD===4a，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴sin∠ADB=sin∠ABD===；②如图2，顺时针旋转时，BC′=AB﹣AC′=5﹣3=2，根据勾股定理，BD===2a，过点A作AE⊥BD于E，则BE=BD=×2a=a，在Rt△ABE中，AE===2a，∴sin∠ADB===；综上所述，sin∠ADB的值为或．故答案为：或．点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边对等角的性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于要分情况讨论并找出∠ADB所在的直角三角形，作出图形更形象直观． 三．（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）（2022•徐汇区二模）计算：（）0﹣cos30°+﹣（）2．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、特殊角的三角函数值和分母有理化得到原式=1﹣++﹣，然后合并即可．解答：解：原式=1﹣++﹣=++．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和特殊角的三角函数值． 15\n20．（10分）（2022•徐汇区二模）解不等式组：；并将解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，由不等式①解得，x＞﹣6，由不等式②解得，x≥1，在数轴上表示如下：所以，原不等式组的解集是x＞﹣6．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 21．（10分）（2022•徐汇区二模）销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数量N（件）与商品单价M（元∕件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB．（1）求y关于x的函数关系式；（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？考点：一元二次方程的应用；一次函数的应用．分析：（1）根据A、B两点的坐标值可求出一次函数的解析式；（2）设该商品的单价应该定x元，利用：每天的销售额=商品单价×销售数量，得到关于x的一元二次方程，计算求出x的值即可．解答：解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．由题意，得解得．故y关于x的函数关系式为y=﹣4x+220；15\n（2）设该商品的单价应该定x元．由题意，得x（﹣4x+220）=2400．化简整理，得x2﹣55x+600=0．解得，x1=40，x2=15．经检验，x2=15不合题意，舍去．答：计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元．点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数和一元二次方程的关系，是中考题中常见题型． 22．（10分）（2022•徐汇区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，BD⊥AB，AB=3，BD=4，CD=2．求：（1）tan∠CAB的值；（2）△AOD的面积．考点：梯形；锐角三角函数的定义．分析：（1）先求出BO的长度，根据tan∠CAB=即可得出答案．（2）根据（1）中求得的BO的长度，可得出OD的长度，S△AOD=OD×AB，代入数据即可得出答案．解答：解：（1）∵AB∥CD，∴==，∵BD=4，∴BO=×4=，在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∴tan∠CAB==；（2）∵DO=BD﹣BO=4﹣=，∴S△AOD=AB•DO=×3×=．点评：本题考查了梯形、平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是利用比例的知识求出BO的长度，难度一般． 23．（12分）（2022•徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．15\n考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：（1）根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；（2）通过相似三角形△ADB∽△AFD的对应角相等知∠ADB=∠DFA，然后由▱ABCD、▱DBEC的性质以及等量代换证得△CMN∽△CMD，则该对相似三角形的对应边成比例，即，又因为DC=AB，所以，即CM•AB=DM•CN．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB．∵BE=AB，∴DC=BE．又∵DC∥BE，∴四边形DBEC是平行四边形；（2）∵AD2=AB•AF，∴，又∵∠A=∠A，∴△ADB∽△AFD，∴∠ADB=∠DFA．∵DC∥AB，∴∠CDF=∠DFA．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠ADB=∠DBC．∵四边形DBEC是平行四边形，∴CE∥DB，∴∠MCN=∠DBC，∴∠MCN=∠CDF．又∵∠CMN=∠DMC，∴△CMN∽△CMD，∴，∵DC=AB，∴，∴CM•AB=DM•CN．点评：15\n本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 24．（12分）（2022•徐汇区二模）抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（1，），对称轴是直线x=2，顶点是D，与x轴正半轴的交点为点B．（1）求抛物线y=ax2+bx（a≠0）的解析式和顶点D的坐标；（2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，点M在射线BO上，当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，求点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（1，），对称轴是直线x=2，可得关于a，b的方程组，求得a，b的值，从而得到抛物线y=ax2+bx（a≠0）的解析式；再根据顶点坐标公式即可得到顶点D的坐标；（2）设⊙M的半径为r．分两种情况：①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上；②当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO的延长线上；列出关于r的方程，求得r的值，从而得到点M的坐标．解答：解：（1）由题意，得，解得：．则抛物线y=ax2+bx（a≠0）的解析式，顶点D（2，3）．（2）设⊙M的半径为r．由当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，分下列两种情况：①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上，可得32+（4﹣r﹣1）2=（r+1）2．解得，∴．②当⊙M和⊙N内切时，此时点M在线段BO的延长线上，可得32+（r﹣1﹣2）2=（r﹣1）2．解得，∴．综合①、②可知，当⊙M和⊙N相切时，或．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，对称轴公式、顶点坐标公式；第（2）问注意分内切和外切两种情况讨论求解，综合性较强． 15\n25．（14分）（2022•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，联结AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）如图2，联结CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．考点：相似形综合题．分析：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的函数解析式；（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB时；根据相似三角形的性质可求x的值；（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长．解答：解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，∴；易得△CMD∽△CAB，∴；设CM=3a，DM=4a，∴AM=4a，∴a=，，∴，∴．定义域是：≤x≤4．（注：其它解法参照评分．）（2）∵∠CDQ=∠ADB，∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：①当∠QCD=∠B时，∴CQ∥AB，四边形CAPQ是正方形；∴x=AP=AC=3．②当∠QCD=∠QAB时，15\n∴，由上述（1）的解法，可得，，∴，∴；∴，解得．综合①②，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或．（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．∴BC⊥QM，QN=MN．∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，∴，设MN=3t，BN=4t，∴BM=5t；∴QM=6t，∴；∵BQ=BM=5t，∴；又∵，∴，解得；∴．15\n点评：此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．15
