北京市门头沟区2022年中考数学二模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（2022•门头沟区二模）﹣6的倒数是（ ） A．6B．﹣6C．D．﹣考点：倒数．分析：根据倒数的定义求解．解答：解：﹣6的倒数是﹣．故选D．点评：倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2．（4分）（2022•门头沟区二模）PM2.5是大气中粒径小于等于2.5微米的颗粒物，称为细颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．2.5×10﹣6D．25×10﹣7考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000025=2.5×10﹣6；故选：C．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．（4分）（2022•门头沟区二模）如图是某几何体得三视图，则这个几何体是（ ） A．球B．圆锥C．圆柱D．三棱体考点：由三视图判断几何体．.专题：图表型．23\n分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．故选B．点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 4．（4分）（2022•门头沟区二模）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A．8B．6C．5D．3考点：多边形内角与外角．.分析：根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．解答：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=3×360，解得：n=8，故选A．点评：本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键． 5．（4分）（2022•门头沟区二模）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A．B．C．D．考点：概率公式．.专题：应用题；压轴题．分析：先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：∵共8球在袋中，其中5个红球，∴其概率为，故选C．点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 6．（4分）（2022•门头沟区二模）已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积是，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为（ ） A．B．C．D．考点：圆锥的计算．.分析：23\n根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的底面半径，根据圆的周长公式求出扇形的弧长，再结合扇形的面积公式：S=即可求出圆心角的度数，从而求得．解答：解：∵圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积为，∴圆锥的底面半径为：π÷π÷2=cm，扇形的弧长为：2π×=πcm侧面展开图的圆心角是：π×360÷（π×22）=120°故选A．点评：此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的底面半径是解决问题的关键． 7．（4分）（2022•门头沟区二模）甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下表所示：甲798610乙78988设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为、，射击成绩的方差依次为、，则下列判断中正确的是（ ） A．，B．， C．，D．，考点：方差；算术平均数．.分析：根据平均数和方差的计算公式分别进行计算，再进行比较，即可得出答案．解答：解：∵=（7+9+8+6+10）÷5=8，=（7+8+9+8+8）÷5=8，∴，∵=[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]=2，=[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4，∴；故选B．点评：此题考查了平均数和方差，掌握平均数和方差公式是解题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]23\n，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 8．（4分）（2022•门头沟区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC=12，BD=8，P是AC上的一个动点，过点P作EF∥BD，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设CP=x，EF=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．.分析：AC与BD相交于O，分类讨论：当点P在OC上时，根据平行四边形的性质得OC=OA=AC=6，利用EF∥BD得△CEF∽△CBD，根据相似比可得到y=x（0≤x≤6）；当点P在OA上时，AP=12﹣x，由EF∥BD得△AEF∽△ABD，据相似比可得到y=﹣x+16（6＜x≤12），然后根据函数解析式对各选项分别进行判断．解答：解：AC与BD相交于O，当点P在OC上时，如图1∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC=OA=AC=6，∵EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴=，即=，∴y=x（0≤x≤6）；当点P在OA上时，如图2，则AP=12﹣x，∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴=，即=，∴y=﹣x+16（6＜x≤12），∴y与x的函数关系的图象由正比例函数y=23\nx（0≤x≤6）的图象和一次函数y=﹣x+16（6＜x≤12）组成．故选D．点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围． 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2022•门头沟区二模）函数y=的自变量x的取值范围是 x ．考点：函数自变量的取值范围．.专题：函数思想．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：3x﹣1≥0，解得：x≥．故答案为：x≥．点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10．（4分）（2022•门头沟区二模）分解因式：ax2﹣16a= a（x+4）（x﹣4） ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．.分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：ax2﹣16a，=a（x2﹣16），=a（x+4）（x﹣4）．点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式． 11．（4分）（2022•门头沟区二模）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是 m．23\n考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.专题：应用题．分析：设AB=x，在Rt△ABC中表示出BC，在Rt△ABD中表示出BD，再由CD=20米，可得关于x的方程，解出即可得出答案．解答：解：设AB=x，在Rt△ABC中，∠C=30°，则BC==x，在Rt△ABD中，∠ADB=60°，则BD==x，由题意得，x﹣x=20，解得：x=10．即建筑物AB的高度是10m．故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度． 12．（4分）（2022•门头沟区二模）如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是 ，的值等于 ；若（n≥2，且n为整数），则的值等于 （用含n的式子表示）．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：23\n求出CE，根据勾股定理求出BN、EN，证△DEQ∽△CNE，求出DQ、QE长，在Rt△MFQ中，根据勾股定理求出AM即可．解答：解：∵沿MN折叠B和E重合，∴BN=NE，∵=，CD=2，∴CE=1，设BN=NE=x在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE2=CE2+CN2，x2=12+（2﹣x）2x=，BN=NE=．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°，∴∠QEN=∠B=90°，∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，∴∠DQE=∠CEN，∵∠D=∠C=90°，∴△DQE∽△CEN，∴==，∴==，DQ=，EQ=，∵折叠A和F重合，B和E重合，∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ2=MF2+FQ2，（2﹣﹣AM）2=AM2+（2﹣）2，AM=．∵沿MN折叠B和E重合，∴BN=NE，∵=，CD=2，∴CE=，设BN=NE=x在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE2=CE2+CN2，23\nx2=（）2+（2﹣x）2x=，BN=NE=．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°，∴∠QEN=∠B=90°，∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，∴∠DQE=∠CEN，∵∠D=∠C=90°，∴△DQE∽△CEN，∴==，∴==，DQ=，EQ=，∵折叠A和F重合，B和E重合，∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ2=MF2+FQ2，（2﹣﹣AM）2=AM2+（2﹣）2，AM=，∴=，故答案为：，，．23\n点评：本题考查了折叠的性质，正方形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，用了方程思想． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2022•门头沟区二模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.分析：分别进行二次根式的化简、零指数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可．解答：解：原式==．点评：本题考查了实数的运算，要求熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟记一些特殊角的三角函数值． 14．（5分）（2022•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．考点：根的判别式．.专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到（﹣6）2﹣4（m﹣3）=0，再解方程求出m，这样可确定原方程为x2﹣6x+9=0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：由题意可知△=0，即（﹣6）2﹣4（m﹣3）=0，解得m=12，当m=12时，原方程化为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，所以原方程的根为x1=x2=3．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 15．（5分）（2022•门头沟区二模）已知，求的值．23\n考点：分式的化简求值．.分析：首先对所求的式子进行化简，先计算乘法，然后进行加减运算，最后把已知的式子化成y=3x的形式，代入求解即可．解答：解：===．当时，y=3x．∴原式==．点评：本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是关键． 16．（5分）（2022•门头沟区二模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，点E在BC的延长线上，且BE=AB，过点E作EF⊥BE，与BD的延长线交于点F．求证：BC=EF．考点：全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：由EF⊥BE，∠ABC=90°得∠BEF=∠ABC=90°，则∠F+∠EBF=90°，而BD⊥AC，则∠EBF+∠ACB=90°，利用等量代换得到∠ACB=∠F，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△BEF，所以有BC=EF．解答：证明：∵EF⊥BE，∠ABC=90°，∴∠BEF=∠ABC=90°，∴∠F+∠EBF=90°，又∵BD⊥AC，∴∠EBF+∠ACB=90°，∴∠ACB=∠F，∵在△ABC和△BEF中23\n，∴△ABC≌△BEF（AAS），∴BC=EF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等． 17．（5分）（2022•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.分析：（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得m的值，即可得到反比例函数解析式；（2）PA=2OA，则P在以A为圆心，以2OA为半径的圆上或P在以A点为圆心，以2OA为半径的圆上，圆与直线OA的交点就是P．解答：解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y=3x的图象上，∴m=3．∴点A的坐标为（1，3）．∵点A（1，3）在反比例函数的图象上，∴k=3．…（2分）∴反比例函数的解析式为．23\n（2）点P的坐标为P（3，9）或P（﹣1，﹣3）．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 18．（5分）（2022•门头沟区二模）为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．考点：分式方程的应用．.专题：应用题．分析：求的是数量，捐款总额明显，一定是根据人均捐款数来列等量关系，本题的关键描述语是：提两次人均捐款额相等．等量关系为：第一次人均捐款钱数=第二次捐款人均捐款钱数．解答：解：设第二次捐款人数为x人，则第一次捐款人数为（x﹣50）人，根据题意，得（3分）解这个方程，得x=200（4分）经检验，x=200是所列方程的根（5分）答：该校第二次捐款人数为200人．（6分）点评：应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2022•门头沟区二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，CE=，tan∠BEC=，求BC、DE的长及四边形ABCD的面积．考点：解直角三角形；勾股定理．.专题：计算题．分析：过点D作DF⊥AC于F，构造Rt△ADF，然后利用三角函数求出EF、AC、DE的长，再计算出S△ACD和S△ACB，即为S四边形ABCD．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F．∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=30°．23\n∵BC⊥AC，∴∠AFD=∠ACB=90°．∴，BC=CE•tan∠BEC=×=4．∴．．∴．∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB===．点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20．（5分）（2022•门头沟区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、F．若OB=2，求OE和CF的长．考点：切线的判定；勾股定理．.分析：（1）首先连接OD，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，又由∠A=30°，∠ABD=2∠BDC，易证得△ODB是等边三角形，继而求得∠ODC=90°，即CD是⊙O的切线；（2）由三角函数的性质，即可求得CD与DF的长，继而求得答案．解答：（1）证明：连结OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A=30°，∴∠ABD=60°．23\n∵∠ABD=2∠BDC，∴∠BDC=∠ABD=30°．∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形．∴∠ODB=60°．∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°．…（3分）∵BD=OB=2，∴DE=BE=BD=1．∴OE==．∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，∴CD=OD•tan60°=2，DF=OD•tan30°=．∴CF=CD﹣DF=2﹣=．点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 21．（5分）（2022•门头沟区二模）某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．表1阅读课外书籍人数分组统计表分组阅读课外书籍时间n（小时）人数A0≤n＜33B3≤n＜610C6≤n＜9aD9≤n＜1213E12≤n＜15bF15≤n＜18c23\n请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次共调查了学生多少人？E组人数在这次调查中所占的百分比是多少？（2）求出表1中a的值，并补全图1；（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．.分析：（1）根据B类的人数有10人，占的百分比是20%，得出总人数，再根据F组的人数，求出在这次调查中所占的百分比，再用整体1减去各组所占的百分比，即可求出E组人数在这次调查中所占的百分比；（2）根据C所占的百分比和总人数，即可求出表1中a的值，从而补全统计图；（3）根据阅读课外书籍的时间不少于12小时所占的百分比，再乘以总人数，即可得出答案．解答：解：（1）根据题意得：10÷20%=50（人），F组人数在这次调查中所占的百分比是：×100%=10%，E组人数在这次调查中所占的百分比是：1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣10%=8%；答：这次共调查了学生50人，E组人数在这次调查中所占的百分比是8%．（2）根据题意得：50×30%=15（人），则表1中a的值是15；补图如下：（3）根据题意得：300×（8%+10%）=54（人）．答：该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有54人．点评：23\n此题考查了扇形统计图和频率分布直方图，解题的关键是读懂统计图，获得有关信息，在获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22．（5分）（2022•门头沟区二模）如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．考点：四边形综合题．.分析：（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形；（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值；（3）根据网格得出各四边形的面积，进而得出答案．解答：解：（1）如图3所示：利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）∵图2中HE=2，EF=2，GF=2，HG=2，∴四边形EFGH的周长为：2×4=8，图3中HE=3，EF=，GF=3，HG=，∴四边形EFGH的周长为：（3+）×2=8，∴图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是定值，定值是．（3）∵图2中四边形EFGH的面积为：4×8﹣×2×4×4=16，图3中四边形EFGH的面积为：4×8﹣×1×2×2﹣×3×6×2=12，∴图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积不是定值，它们的面积分别是16、12．23\n点评：本题考查了应用与设计作图、勾股定理的应用、矩形的性质等知识，读懂题意理解“反射四边形EFGH”特征是解题的关键． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B（﹣2，n）在这条抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线y=﹣2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标．考点：二次函数综合题．.分析：（1）利用拋物线经过原点，将（0，0）代入求出m即可；（2）将点B（﹣2，n）代入拋物线求出n的值，进而得出直线l的解析式中b的值；（3）首先求出E点坐标，进而得出△DFB≌△DHE，再求直线CD的解析式，将一次函数与二次函数联立求出交点坐标．解答：解：（1）∵拋物线经过原点，∴m2﹣6m+8=0．解得m1=2，m2=4．由题意知m≠4，∴m=2．23\n∴拋物线的解析式为．（2）∵点B（﹣2，n）在拋物线上，∴n=3．∴B点的坐标为（﹣2，3）．∵直线l的解析式为y=﹣2x﹣b，直线l经过B点，∴3=﹣2（﹣2）﹣b．∴b=1．（3）∵拋物线的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=﹣2x﹣1，∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为（2，0），直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D（0，﹣1）、E（2，﹣5）．过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F．则BG=4．在Rt△BGC中，．∵CE=5，∴CB=CE．过点E作EH⊥y轴于H．则点H的坐标为（0，﹣5）．∵点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，﹣1），∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，∵在△DFB和△DHE中∴△DFB≌△DHE（SAS）．∴DB=DE．∵PB=PE，∴点P在直线CD上．∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点．设直线CD的解析式为y=kx+a．将D（0，﹣1）、C（2，0）代入，得解得∴直线CD的解析式为．23\n设点P的坐标为（x，），∴=．解得，．∴，．∴点P的坐标为（，）或（，）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与二次函数交点问题等知识，利用数形结合得出符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点是解题关键． 24．（7分）（2022•门头沟区二模）已知：在△AOB与△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是 AD=2OM ，位置关系是 AD⊥OM ；（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．考点：几何变换综合题．.23\n专题：综合题．分析：（1）AD与OM之间的数量关系为AD=2OM，位置关系是AD⊥OM；（2）（1）中的两个结论仍然成立，理由为：如图2所示，延长BO到F，使FO=BO，连接CF，由M、O分别为BC、BF的中点，得到OM为三角形BCF的中位线，利用中位线定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD与三角形FOC全等，利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD，等量代换得到AD=2OM；由OM为三角形BCF的中位线，利用中位线定理得到OM与CF平行，利用两直线平行同位角相等得到∠BOM=∠F，由全等三角形的对应角相等得到∠F=∠OAD，等量代换得到∠BOM=∠OAD，根据∠BOM与∠AOM互余，得到∠OAD与∠AOM互余，即可确定出OM与AD垂直，得证；（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：如图3所示，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作EN⊥AD于N，由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度，进而得到三角形ACE与三角形AED为等腰直角三角形，根据EN为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN，再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN为矩形，可得出EN=OM，等量代换得到AD=2OM．解答：解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是AD⊥OM；（2）（1）的两个结论仍然成立，理由为：证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF，∵M为BC中点，O为BF中点，∴MO为△BCF的中位线，∴FC=2OM，∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC，在△AOD和△FOC中，，23\n∴△AOD≌△FOC（SAS），∴FC=AD，∴AD=2OM，∵MO为△BCF的中位线，∴MO∥CF，∴∠MOB=∠F，又∵△AOD≌△FOC，∴∠DAO=∠F，∵∠MOB+∠AOM=90°，∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD⊥OM；（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：证明：如图3，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作EN⊥AD于N，∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，∴DN=AN，∴AD=2NE，∵M为BC的中点，∴EM⊥BC，∴四边形ONEM是矩形．∴NE=OM，∴AD=2OM．故答案为：AD=2OM；AD⊥OM．点评：此题考查了几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，是一道多知识点探究性试题． 25．（8分）（2022•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）求直线AC的解析式；（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？23\n考点：一次函数综合题．.专题：综合题．分析：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，将G（0，6）、C（3，0）两点代入，即可求出k、b的值，从而得到一次函数解析式．（2）将△CQE的底和高用含x的代数式表示出来，列出关于x的二次函数解析式，求最值即可．（3）求出CM的关于t的表达式，根据四边形CQEH为菱形求得H=CQ=t，再利用勾股定理求出t的值即可．解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b．∵直线AC经过G（0，6）、C（3，0）两点，∴解这个方程组，得∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6．（2）当x=1时，y=4．∴A（1，4）．∵AP=CQ=t，∴点P（1，4﹣t）．将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得点E的横坐标为x=．∴点E到CD的距离为．∴S△CQE===．∴当t=2时，S△CQE最大，最大值为1．（3）过点E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．当点H在点E的下方时，连结CH．∵EM=4﹣t，∴HM=4﹣2t．∵，23\n∴．∵四边形CQEH为菱形，∴CH=CQ=t．在Rt△HMC中，由勾股定理得CH2=HM2+CM2．∴．整理得13t2﹣72t+80=0．解得，t2=4（舍）．∴当时，以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．当点H在点E的上方时，同理可得当时．以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．∴t的值是或．点评：本题考查了一次函数综合题，包括待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值、菱形的性质，难度较大．23
