2022年四川省乐山市犍为县中考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1．（3分）（2022•大连）﹣2的相反数是（ ） A．﹣2B．﹣C．D．2考点：相反数．分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．解答：解：﹣2的相反数是2．故选D．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2．（3分）（2022•犍为县二模）如图直线L1∥L2，则∠α的大小是（ ） A．120°B．130°C．140°D．150°考点：平行线的性质．专题：探究型．分析：先根据平行线的性质求出∠BCD的度数，再由对顶角的性质即可得出结论．解答：解：∵直线L1∥L2，∴∠BCD=180°﹣130°=50°，∴∠α与∠ACD是对顶角，∴∠α=70°+50°=120°．故选A．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 3．（3分）（2022•犍为县二模）下列运算正确的是（ ） A．B．（a3）3=a0C．a2•a4=a8D．a6÷a3=a3考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．分析：根据零指数幂：a0=1（a≠0）可判断出A的正误；根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可判断出B的正误；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加判断出C的正误，根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可判断出D的正误．17\n解答：解：A、（）0×3=3，故此选项错误；B、（a3）3=a9，故此选项错误；C、a2•a4=a6，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了零指数幂、积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，关键是熟练掌握每一个计算的法则，不要混淆． 4．（3分）（2022•成都）成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930000万元，这一数据用科学记数法表示为（ ） A．9.3×105万元B．9.3×106万元C．93×104万元D．0.93×106万元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于930000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．解答：解：930000=9.3×105．故选A．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键． 5．（3分）（2022•成都）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是（ ） A．8cmB．5cmC．3cmD．2cm考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆外切时圆心距等于两圆的半径的和，即可求解．解答：解：另一个圆的半径=5﹣3=2cm．故选D．点评：本题考查了圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握． 6．（3分）（2022•成都）分式方程的解为（ ） A．x=1B．x=2C．x=3D．x=4考点：解分式方程．分析：首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验．解答：解：，去分母得：3x﹣3=2x，移项得：3x﹣2x=3，合并同类项得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解，故原方程的解为：X=3，故选：C．点评：17\n此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方． 7．（3分）（2022•成都）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ） A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OC考点：菱形的性质．专题：压轴题．分析：根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故本选项正确；D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故本选项正确．故选B．点评：本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键． 8．（3分）（2022•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ） A．120°B．180°C．240°D．300°考点：圆锥的计算．专题：压轴题．分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．解答：解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=2πr=πR，∴n=180°．故选：B．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 9．（3分）（2022•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）17\n A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB=BE，再由已知条件即可求解．解答：解：∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∵▱ABCD∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB∴∠BAE=∠BEA∴AB=BE=3∴EC=AD﹣BE=2故选B．点评：命题立意：考查平行四边形性质及等腰三角形的性质． 10．（3分）（2022•自贡）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（ ） A．B．C．D．考点：规律型：点的坐标．分析：根据题意，得第一次跳动到OM的中点M3处，即在离原点的处，第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处．解答：解：由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处，故选D．点评：本题主要考查点的坐标，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解答本题的关键是找出各个点跳动的规律，此题比较简单． 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分，共18分）11．（3分）（2022•犍为县二模）如果a﹣3b=﹣3，那么代数式5﹣a+3b的值是 8 ．考点：代数式求值．分析：根据5﹣a+3b=5﹣（a﹣3b），然后代入求值即可．解答：解：5﹣a+3b=5﹣（a﹣3b）=5﹣（﹣3）=5+3=8．17\n故答案是：8．点评：本题考查了代数式的求值，正确对代数式变形，利用添括号法则是关键． 12．（3分）（2022•犍为县二模）一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是 ．考点：概率公式．专题：计算题．分析：让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．解答：解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是．故答案为：．点评：本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 13．（3分）（2022•自贡）某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54米，则需更换新型节能灯 71 盏．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．分析：可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可．解答：解：设需更换的新型节能灯有x盏，则54（x﹣1）=36×（106﹣1），54x=3834，x=71，则需更换的新型节能灯有71盏．故答案为：71．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 14．（3分）（2022•成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，0C=1，则半径OB的长为 2 ．考点：垂径定理；勾股定理．专题：压轴题；探究型．分析：先根据垂径定理得出BC的长，再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长即可．解答：解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=，∴BC=AB=∵0C=1，17\n∴在Rt△OBC中，OB===2．故答案为：2．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，先求出BC的长，再利用勾股定理求出OB的长是解答此题的关键． 15．（3分）（2022•资阳）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 y=x ．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：压轴题．分析：求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．解答：解：如图，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，∵ABCD为矩形∴∠C=90°∵OF⊥BC，OE⊥CD∴∠EOF=90°∴∠EON+∠FON=90°∵ON⊥OM∴∠EON=∠FOM∴△OEN∽△OFM=∵O为中心∴===∴=即y=x，故答案为：y=x，17\n点评：此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质． 16．（3分）（2022•自贡）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，﹣1的差倒数为，现已知，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2022= ．考点：规律型：数字的变化类；倒数．专题：压轴题．分析：分别求出x2、x3、x4、x5，…，寻找循环规律，再求x2022．解答：解：∵x1=﹣，∴x2==，x3==4，x4==﹣，∴差倒数为3个循环的数，∵2022=670×3+2，∴x2022=x2=，故答案为：．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用组数k表示出来． 三、（本大题共3个小题17题，18题，19题每小题9分，共27分）17．（9分）（2022•犍为县二模）化简：．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：先把括号内通分和除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：原式=•（x+1）（x﹣1）=x2+1．点评：17\n本题考查了分式的混合运算：先把各分子或分母因式分解，再进行乘除运算（除法运算转化为乘法运算），然后约分，再进行加减运算，最后化为最简分式或整式；有括号先计算括号． 18．（9分）（2022•巴中）解不等式组，并写出不等式组的整数解．考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．专题：压轴题；探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在x的取值范围内找出符合条件的x的整数值即可．解答：解：由①得，x≥﹣；由②得，x＜4，故此不等式组的解集为：﹣≤x＜4整数解有：0，1，2，3．点评：本题考查的是解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（9分）（2022•成都）如图，一次函数y=﹣2x+b（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（﹣1，4）．（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；（2）求点B的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：数形结合．分析：（1）分别把点A的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可；（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标．解答：解：（1）∵两函数图象相交于点A（﹣1，4），∴﹣2×（﹣1）+b=4，=4，解得b=2，k=﹣4，∴反比例函数的表达式为y=﹣，一次函数的表达式为y=﹣2x+2；17\n（2）联立，解得（舍去），，所以，点B的坐标为（2，﹣2）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，把交点的坐标代入解析式计算即可，比较简单，注意两函数的交点可以利用联立两函数解析式解方程的方法求解． 四、（共3小题；每小题10分，满分30分）20．（10分）（2022•资阳）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色或编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来．（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；（2）这个游戏是否公平？请说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意列出表格或画出树状图图，然后求得所有等可能的结果与甲得1分的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）由（1）求得乙的得分，比较概率不相等，即可得这个游戏是不公平．解答：解：（1）列表得：…（3分）12341﹣1分1分0分21分﹣1分0分31分1分﹣0分40分0分0分﹣画树状图图得：∴P（甲得1分）=…（4分）（2）不公平．…（5分）∵P（乙得1分）=…（6分）∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），∴不公平．…（7分）17\n点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 21．（10分）（2022•犍为县二模）由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：首先根据题意分析图形；过点B作CD，AC的垂线，垂足分别为E，F，构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．解答：解：过点B作CD，AC的垂线，垂足分别为E，F，∵∠BAC=30°，AB=1500米，∴BF=EC=750米．AF=AB•cos∠BAC=1500×=750米．设FC=x米，∵∠DBE=60°，∴DE=x米．又∵∠DAC=45°，∴AC=CD．即：750+x=750+x米，得x=750．∴CD=（750+750）米．答：山高CD为（750+750）米．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 22．（10分）（2022•自贡）我市某化工厂从2022年开始节能减排，控制二氧化硫的排放．图③，图④分别是该厂2022﹣2022年二氧化硫排放量（单位：吨）的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．17\n（1）该厂2022﹣2022年二氧化硫排放总量是 100 吨；这四年平均每年二氧化硫排放量是 25 吨．（2）把图中折线图补充完整．（3）2022年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是 144 度，2022年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是 10% ．考点：折线统计图；扇形统计图．专题：压轴题．分析：（1）根据扇形统计图折线统计图可求出该厂2022﹣2022年二氧化硫的排放总量，然后分别求出这四年的排放量即可得出这四年平均每年二氧化硫排放量．（2）根据求出的四年的排放量可补全折线图；（3）根据2022年二氧化硫的排放量和这四年的排放总量即可求出对应扇形的圆心角以及求出2022年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比．解答：解：（1）∵该厂2022年二氧化硫的排放量20吨，占2022﹣2022年二氧化硫的排放总量的20%．∴该厂2022﹣2022年二氧化硫的排放总量是20÷20%=100（吨），∴2022年二氧化硫排放量是100×30%=30（吨），2022年二氧化硫排放量是100﹣40﹣20﹣30=10（吨），∴这四年二氧化硫排放量分别是40、20、30、10，∴这四年二氧化硫排放量的平均数为：100÷4=25（吨），故答案为：100、25．（2）正确补全折线图（如图所示），；（3）∵2022年二氧化硫的排放量是40吨，∴2022年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是360×=144°，∵2022年二氧化硫的排放量是10吨，∴2022年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是×100%=10%．故答案为：144、10%．点评：17\n本题考查了扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比． 五、（共2小题；每小题10分，其中24、25题为选做题任选一题作答，满分20分）23．（10分）（2022•自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．考点：切线的判定与性质；圆周角定理．专题：压轴题．分析：（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．解答：（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵AB=2，∠P=30°，∴AP===2，即AP=2；（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．17\n点评：本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． 24．（10分）（2022•宜宾）某市政府为落实“保障性住房政策”，2022年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2022年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．（1）求到2022年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．考点：一元二次方程的应用；根与系数的关系．专题：增长率问题．分析：（1）等量关系为：2022年某市用于保障房建设资金×（1+增长率）2=2022年用于保障房建设资金，把相关数值代入求得合适的解即可．（2）理由上题得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得m的值即可．解答：解：（1）设到2022年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5（2）由（1）得，x2+3x﹣0.5=0，由根与系数的关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5，又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12m[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12m（9+1）﹣4m2•（﹣0.5）=12∴m2+5m﹣6=0解得，m=﹣6或m=1．点评：考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 25．（2022•南充）矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）求tan∠ECF的值．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义．专题：几何综合题．分析：（1）由四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE；17\n（2）由△AEF∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，tan∠ECF=，即可求得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠DEC=90°，∴∠AFE=∠DEC，∴△AEF∽△DCE；（2）解：∵△AEF∽△DCE，∴，∵矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，∴DC=AB=2AD=4AE，∴tan∠ECF==．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义．此题难度适中，注意数形结合思想的应用． 26．（12分）（2022•犍为县二模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．设AM=x．（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少．考点：圆的综合题．分析：（1）先证明△AMN∽△ABC，则可根据相似三角形的对应边成比例求AN，然后由三角形的面积公式求得用x的代数式表示的△AMN的面积S；（3）先求出P点在BC上时AM的值，然后进行讨论：当0＜x≤4时，y=S=•x•x=x2，根据二次函数的性质得到x=4，y的最大值为6；当4＜x≤8时，PM与PN分别交BC于E、F，y=S梯形MEFN=S△PMN﹣S△PEF，利用矩形的性质可表示出PN=AM=x；再由平行四边形BFNM的性质解得FN=8﹣x，PF=2x﹣8，则可利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性质求得S△PEF值；然后写出y与x的解析式，再根据二次函数的性质求出y的最大值，最后综合两种情况即可．解答：解：（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，17\n∴=，即=，解得AN=x，∴△AMN的面积=•x•x=x2，∵四边形AMPN是矩形，∴S=•x•x=x2（0＜x≤8）；（2）若P点在BC上时，∵四边形AMPN是矩形，∴O点为AP的中点，而MN∥BC，∴MN为△ABC的中位线，此时AM=4，当0＜x≤4时，y=S=•x•x=x2，此时x=4，y的最大值为6；当4＜x≤8时，PM与PN分别交BC于E、F，如图，y=S梯形MEFN=S△PMN﹣S△PEF，∵四边形AMPN是矩形，∴PN=AM=x，∵MN∥BC，∴四边形BFNM是平行四边形，∴FN=BM=8﹣x，PF=PN﹣FN=x﹣（8﹣x）=2x﹣8，∵Rt△PEF∽Rt△ACB，∴=（）2=（）2，而S△ABC=×8×6=24，∴S△PEF=（x﹣4）2，∴y=x2﹣（x﹣4）2=﹣x2+12x﹣24，=﹣（x﹣）2+8（4＜x≤8），∵a=﹣＜0，∴当x=时，y有最大值，最大值为8，综上所述，当x=时，y有最大值，最大值为8．17\n点评：本题考查了圆的综合题：掌握圆周角定理及其推论；熟练运用相似三角形的有关知识进行几何计算和二次函数的性质解决最值问题． 27．（13分）（2022•攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分．（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：2×（﹣3）a=4，a=﹣；17\n∴抛物线：y=﹣x2+x+4．（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．（3）∵S△APE=AE•h，∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大；若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；求得：b=，即直线L：y=﹣x+；可得点P（，）．由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；则点F（，0），AF=OA+OF=；∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．17\n点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路．17
