48、数形结合思想一、选择题1.（2022年河北省廊坊市安次区初中毕业生升学文化课第一次模拟考试，6，2分）如图1，平行四边形中，，，的垂直平分线交于，则的周长是A．6B．8C．9D．10图1【答案】B2.（2022年河北省廊坊市安次区初中毕业生升学文化课第一次模拟考试，题号17，2分）8．一个钢管放在V形架内，图3是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25Cm，∠MPN=60°，则OP的长为A．50CmB．25CmC．CmD．50Cm【答案】A3.（2022·年杭州市第一次中考模拟考试，10，3分）如图，中，，，为的中点，在边上存在一点，连结，则周长的最小值为（ ）ABCDE（第10题图）A． B． C． D．【答案】C19\n4.（2022·张家港市二中初三中考模拟测试一数学试卷，9题号，3分值）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论正确的是()O1xy第9题图A.ac＜0B.当x=1时,y＞0C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根D.存在一个大于1的实数x0,使得当x＜x0时,y随x的增大而减小;当x＞x0时,y随x的增大而增大【答案】D5.（2022·张家港市二中初三中考模拟测试一数学试卷，10题号，3分值）如图，直线和双曲线（）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则有（）A． B．C．D．【答案】C第10题图6.（2022·浙江省杭州市1模，9题号，3分值）9．甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需时间少()A.12天B.14天C.16天D.18天【答案】D（第9题）7.（2022·浙江省杭州市1模，10题号，3分值）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）A.2.5ABB.3ABC.3.5ABD.4AB【答案】B19\n（第10题）8.（2022·浙江省宁波市七中月考，12题号，3分值）．如图，反比例函数（k＞0）与一次函数的图象相交于两点A(,),B(,),线段AB交y轴与C，当|－|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（）A.k＝,b＝2B.k＝,b＝1C.k＝,b＝D.k＝,b＝【答案】D9.（2022·江苏省常州市1模，8题号，2分值）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图像，则关于x的方程kx+b=的解为（）A．xl=1，x2=2 B．xl=－2，x2=－1 C．xl=1，x2=－2 D．xl=2，x2=－１【答案】C10．（2022启东中学模拟3，9题号，4分值）如图4所示，是半径为6的⊙D的圆周，c点是上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是()A．12<P≤18B．18<P≤24C．18<P≤18＋6D．12<P≤12＋6【答案】C19\n11.（2022·河南省中招考试第二次模拟考试试卷，6，3）如图，已知（4，0），点、、…、将线段等分，点、、…、、B在直线上，且∥∥…∥∥∥y轴．记△、△、…、△、△的面积分别为、、…、．当越来越大时，猜想最近的常数是【】（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B（2（1+1/n））（第6题）yxOA1A2An−1AAn−2BB1Bn−1Bn−2…B212.（2022·衢山初中2022年中考一模，10，3）10．如图，直线和双曲线（）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则(▲)A． B．C．D．【答案】13.（2022·盐城市初级中学2022届九年级第一次调研考试数学试卷，10，3）10、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为6，则k的值为（▲）A．1B．2C．3D．419\n【答案】DABDCOxy第10题图14.（2022·北京一零一中2022－2022学年度第二学期2月月考试卷，6，4）6.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P，点P表示的实数为-1，如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数为（）A.B.C.D.【答案】B15.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19\n二、填空题1.（2022·河北省廊坊市安次1模，题号17，2分）如图7，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为．【答案】22.（2022·浙江省杭州市1模，题号12，4分值）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数的图象，则阴影部分的面积是 ．【答案】3.（2022·浙江省杭州市1模，题号15，4分值）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC＝8，BD＝6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．【答案】4.（2022·浙江省杭州市1模，题号16，4分值）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．【答案】19\n（第16题图）5.（2022·山东省曲阜市实验中学1模，15题号，2分值）15．如图，直线经过A（0，4）和B（－2，0）两点，则不等式的解集为 ．【答案】 x≤-1yYxXOAB第15题图6.（2022·山东省潍坊市1模，17题号，3分值）17.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是.【答案】S2=S1+S37.（2022·江苏省常州市1模，题号18，1分值）二次函数的图像如右图所示，点位于坐标原点，，，，…，在y轴的正半轴上，，，，…，在二次函数第一象限的图像上，若△,△，△，…，△都为等边三角形，请计算△的边长＝；△的边长＝；△的边长＝。【答案】1，2，202219\nxyA0B1A1A2B2B3A38.（2022·广东省模，9题号，4分值）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是cm．【答案】9.（2022·广东省模拟考，10题号，4分值）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于___________α【答案】10．（2022·上海市奉贤区调研测试九年级数学试卷，12，4）如图，l1表示某摩托厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的关系；l2表示该摩托厂一天的销售成本与销售量之间的关系。那么当一天的销售量超过第12题图▲辆时，工厂才能获利。【答案】419\n11.（2022·浙江省杭州市各类高中招生文化考试，12，3）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．（第12题图）【答案】-1，3 12.（2022·河南省中招考试第二次模拟考试试卷，14，3）14．如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、…、n）作轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则_________．【答案】2n/(n+1)．（第14题）OxyAiBiPi13.（2022·河南省中招考试第二次模拟考试试卷，15，3）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是__________．【答案】4.8（ED=CO+OP≥CH垂线段）．19\n（第15题）ACBPED14.（2022·湖南省中考预测题，16，3）16．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm.O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线ｙ＝ａｘ经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是cm2.【答案】ACBDPOxy15.（2022·湖北省荆州中考数学模拟试题，15，4）15．如图，直线y=kx＋b过点P（1，2）,交X轴于A（4，0），则不等式0＜kx＋b≤2x的解集为_________.【答案】AP16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19\n三、解答题1.（2022·河北省廊坊市安次1模，题号17，2分）【答案】2.（2022·湖北省武汉市2模，题号24，分值10）(本题满分10分)在等边△ABC中，D、E分别在AC、BC上，且AD=CE=nAC，连AE、BD相交于P，过B作BQ⊥AE于点Q，连CP.(1)∠BPQ=______,=____(2)若BP⊥CP，求；(3)当n=_____时，BP⊥CP?【答案】(1)60°，；(2)解：在BP上取BK=AP．连AK,∵△ACE≌△BAD,∴∠CAE=∠ABD,∴BK=AP,AB=CA,∴△ACP≌△BAK,∴∠BAK=∠ACP,∴∠AKP=∠CPE=300.又∠APB=1200.∴∠AKP=∠KAP=300,∴AP=PK,∴=⑶3.（2022·浙江省杭州市1模，题号24，12分值）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线19\n上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设（1）求的值；（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）；（3）定义：若抛物线的顶点及抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值．yOMxnl123…【答案】解：（1）∵在上，∴，∴．2分（2）由（1）得：，∵在上，∴当时，，∴．3分解法一：∴设抛物线表达式为：，4分又∵，∴，∴，∴，5分∴经过点的抛物线的解析式为：．6分解法二：∵，∴，，∴设，4分把代入：，得，5分19\n∴抛物线的解析式为．6分（3）存在美丽抛物线．7分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．∵当时，，当时，，当时，，yOMxnl123…∴美丽抛物线的顶点只有．①若为顶点，由，则；②若为顶点，由，则，4.（2022·海南省X模，题号23，11分值）如图7，是同一直线上的三个点，四边形与四边形都是正方形．连接．（1）①求证：=；②图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．（2）若正方形的边长是1，延长BG恰好交于DE的中点M，求DC+CE的值．19\n【答案】23.(1)①略②存在，△DCE可由△BCG绕点C顺时针旋转90°得到；(2)连结BD.BD=∵△BCG≌△DCE∴∠CBG=∠CDE又∵∠CDE+∠MEC=90°∴∠CBG+∠MEC=90°∴BM⊥DE又∵M是DE的中点∴BE=BD=∴DC+CE=BC+CE=5.（2022·重庆市一中3月月考，20题号，10分值）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长．(结果保留根号)(第22题)【答案】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF……………1分过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB19\n∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN……………2分∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG……………5分(2)∵∠B＝300AB//NF∴∠8＝300在Rt△FDN中，FN＝2FD＝10∴AF＝AE＝BG＝FN＝10∴∠BAD＝600∴△AEF为等边△∴EF＝AE＝10∵GF//BC∴∠EGB＝∠B＝300∠4＝∠9+∠10＝600∴∠9＝∠10＝300EG＝EF＝10在Rt△ABC中，tan300＝∴AC＝10∠2＝300在Rt△CDF中，tan∠＝∴CD＝S四EBDF＝S△ABC－S△AEC－S△CDF＝……………10分6.（2022·广东省模拟考，20题号，9分值）有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开19\n（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.(（图1）（图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？【答案】20.解：（1）△BMP是等边三角形.…………………………………………………1分证明：连结AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折叠知AB=BN∴AN=AB=BN∴△ABN为等边三角形∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°…………………………3分又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP为等边三角形.…………………………………………………5分（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP……………………7分在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°∴BP=∴b≥∴a≤b.∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.……………………9分7.（2022·浙江省杭州市中考数学模拟试卷，22，10）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即19\n.同理有：，，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，△ABC中，∠B=450，∠C=750，BC=60，则∠A=；AC=；（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.【答案】22、（本小题满分10分）解：（1）∠A=600，AC=……………2分(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）……………1分∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=1800∵∠DCB=300，∴∠CBE=1500∵∠ABE=750。∴∠ABC=750，∴∠A=450……………2分…在△ABC中……………2分解之得：AB=15………………2分答：货轮距灯塔的距离AB=15海里…………………1分8.（2022·马鞍山市成功学校2022年初三第一次教学质量检测，23，14）23．在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，BD2＝AB2＋AD2，又CD＝AB，AD＝BC，所以AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝2（AB2＋BC2）．小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：（1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）； （2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；19\n （3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长。（结果用a，b，c表示） 图1图2图3图4【答案】23．（1）如图2，设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA，BD＝2OB．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，∴AC2＋BD2＝4OA2＋4OB2＝4（OA2＋OB2）＝4AB2，又∵AB＝BC，∴AC2＋BD2＝2（AB2＋AB2）＝2（AB2＋BC2）．…………………………4分 （2）小明的猜想成立．证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F， 则∠AEB＝∠DFC＝90°． ∵四边形ABCD是平等四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，BE＝CF．在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2＝AE2＋（BC－BE）2，BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋（BC＋CF）2＝AE2＋（BC＋BE）2，∴AC2＋BD2＝2AE2＋2BC2＋2BE2＝2（AE2＋BE2）＋2BC2．又AE2＋BE2＝AB2，故AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）．……………………………11分 （3）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，则AE＝2AD． ∵BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形．由（2）的结论，得 AE2＋BC2＝2（AB2＋AC2）， 即（2AD）2＋a2＝2（b2＋c2），解得AD2＝，19\n 故AD＝．…………………………………………14分9.（2022·石家庄市42中2022年中考模拟数学试题，23,14）23．（本小题满分10分）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AB:AC=AC:BC，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1:S2，如果S:S1=S1:S2，，那么称直线为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：在（1）中，过点C任作AE交AB于E，再过点D作，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF是△ABC的黄金分割线．请说明理由．（4）如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线．请你再画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点（保留必要的辅助线）．【答案】23．解：（1）对，理由略；（2）不是，中线所分的两部分的面积比不满足S:S1=S1:S2；（3）因为△ADC的面积和△AEF的面积相等； （４）图略．19
