专题五 阅读与思考类型一 数学文化1.我国古代秦汉时期有一部数学著作,堪称世界数学经典名著.它的出现,标志着我国古代数学体系的正式确立.它采用按类分章的问题集的形式进行编排.其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先,这部著作的名称是( )A.《九章算术》B.《海岛算经》C.《孙子算经》D.《五经算术》2.(2022·山西)公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2,导致了第一次数学危机.2是无理数的证明如下:假设2是有理数,那么它可以表示成qp(p与q是互质的两个正整数).于是qp2=(2)2=2,所以,q2=2p2.于是q2是偶数,进而q是偶数.从而可设q=2m,所以(2m)2=2p2,p2=2m2,于是可得p也是偶数.这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾,从而可知“2是有理数”的假设不成立,所以2是无理数.这种证明“2是无理数”的方法是( )A.综合法B.反证法C.举反例法D.数学归纳法3.(2022·太原一模)魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法:作圆内接正多边形,当正多边形的边数不断增加时,其周长就无限接近圆的周长,进而可用正多边形的周长圆的直径来求得较为精确的圆周率,祖冲之在刘徽的基础上继续努力,当正多边形的边数到24576时,得到了精确到小数点后七位的圆周率,这一成就在当时领先其他国家一千多年,如图,依据“割圆术”,由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )A.2.9B.3C.3.1D.3.144.(2022·山西晋中模拟)为了证明数轴上的点可以表示无理数,老师给学生们设计了如下材料:如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点(记为点O)到达点A,点A对应的数是多少?从图中可以看出OA的长是这个圆的周长π,所以点A对应的数是π,这样,无理数π可以用数轴上的点表示出来,上述材料体现的数学思想是( )10\nA.方程思想B.从特殊到一般的思想C.数形结合思想D.分类思想5.(2022·自贡)回顾初中阶段函数的学习过程,从函数解析式到函数图象,再利用函数图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是( )A.数形结合B.类比C.演绎D.公理化6.阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”:如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,设p=a+b+c2,则三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).我国南宋著名的数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术):如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=14a2b2-a2+b2-c222.(1)若一个三角形的三边长分别是5、6、7,则这个三角形的面积等于 ; (2)若一个三角形的三边长分别是5、6、7,求这个三角形的面积.类型二 新材料学习型7.定义:如果二次函数y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与y2=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”,小明是这样思考的:由函数y=-x2+3x-2可知a1=-1,b1=3,c1=-2,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0求出a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面的问题:(1)写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”;(2)若函数y1=x2-4n3x+n与y2=-x2+mx-3互为“旋转函数”,求(m+n)2019的值;(3)已知函数y=2(x+1)(x-4)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于10\n原点的对称点分别是A1、B1、C1,请指出图象经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2(x+1)(x-4)是否互为“旋转函数”.8.(2022·太原一模)请阅读以下材料,并完成相应的任务.如图1,A,B两点在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,直线AB与坐标轴分别交于点C,D,求证:AD=BC.下面是小明同学的部分证明过程:证明:如图2,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.设直线AB的表达式为y=mx+n,A,B两点的横坐标分别为a,b,则ka=ma+n,kb=mb+n,解得m=-kab,n=k(a+b)ab.∴直线AB的表达式为y=-kabx+k(a+b)ab.当x=0时,y=k(a+b)ab,∴点D的坐标为0,k(a+b)ab,∴DM=k(a+b)ab-ka=kb……(1)请补全小明的证明过程;(2)如图3,直线AB与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A12,9和点C,与x轴交于点D,连接OC.若点B的坐标为(0,10),则点C的坐标为 , △OCD的面积为 . 10\n9.(2022·山西一模)阅读与思考 婆罗摩笈多(Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家,书写了两部关于数学和天文学的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》,而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及部分证明过程如下:已知:如图1,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC⊥BD于点P,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,求证:CN=DN.证明:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.∴∠BAP=∠BPM.∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC,∴……(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分;(2)已知:如图2,△ABC内接于☉O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,点D在☉O上,∠BCD=60°,连接AD,与BC交于点P,作PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长为 . 10\n10.(2022·山西模拟)请阅读材料,并完成相应的任务.已知点D在△ABC的边BC上(点D不与点B,C重合),点P是AD上任意一点,连接BP,CP.如图1,若BDBC=12,显然有S△ABP=S△ACP.如图2,若BDBC=13,那么S△ABP与S△ACP之间的数量关系又是怎样的呢?下面是小李同学的部分求解过程:如图3,作BM⊥AD交AD的延长线于点M,作CN⊥AD于点N.∴∠BMD=∠CND=90°.在△BMD和△CND中,∵∠BMD=∠CND,∠BDM=∠CDN,∴△BMD∽△CND.……(1)请把小李同学的求解过程补充完整;(2)猜想:若BDBC=1n,则S△ABP与S△ACP之间的数量关系是 . 10\n10\n答案精解精析1.A 2.B 3.B 4.C 5.A6.解析 (1)p=a+b+c2=5+6+72=9,S=p(p-a)(p-b)(p-c)=9×(9-5)×(9-6)×(9-7)=66.所以这个三角形的面积等于66.(2)S=14a2b2-a2+b2-c222=14(5)2×(6)2-(5)2+(6)2-(7)222=145×6-5+6-722=14×(30-4)=262.答:这个三角形的面积是262.7.解析 (1)∵a1=-1,b1=3,c1=-2,∴-1+a2=0,b2=3,-2+c2=0,∴a2=1,b2=3,c2=2,∴函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”为y=x2+3x+2.(2)根据题意得-4n3=m,-3+n=0,解得m=-4,n=3,∴(m+n)2019=(-4+3)2019=-1.(3)当x=0时,y=2(x+1)(x-4)=-8,则C(0,-8),当y=0时,2(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4,则A(-1,0),B(4,0),∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,∴A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,8),设经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=a2(x-1)(x+4),把C1(0,8)代入得a2·(-1)×4=8,解得a2=-2,10\n∴经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=-2(x-1)(x+4)=-2x2-6x+8,而y=2(x+1)(x-4)=2x2-6x-8,∴a1+a2=2+(-2)=0,b1=b2=-6,c1+c2=0,∴图象经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=2(x+1)(x-4)互为“旋转函数”.8.解析 (1)证明:如图2,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.设直线AB的表达式为y=mx+n,A,B两点的横坐标分别为a,b,则ka=ma+n,kb=mb+n,解得m=-kab,n=k(a+b)ab.∴直线AB的表达式为y=-kabx+k(a+b)ab.当x=0时,y=k(a+b)ab,∴点D的坐标为0,k(a+b)ab,∴DM=k(a+b)ab-ka=kb,当y=0时,x=a+b,∴点C的坐标为(a+b,0),∴CN=a+b-b=a,∴AD=DM2+AM2=kb2+a2=k2+a2b2b2=k2+a2b2b,CB=CN2+BN2=a2+kb2=k2+a2b2b2=k2+a2b2b,∴AD=BC.(2)把点A12,9代入反比例函数y=kx得k=92,∴反比例函数的解析式为y=92x,把A12,9,B(0,10)代入y=mx+n,得9=12m+n,n=10,∴m=-2,n=10,∴直线AB的解析式为y=-2x+10,由y=-2x+10,y=92x,得x=92,y=1或x=12,y=9,∴C92,1,在y=-2x+10中,令y=0,则x=5,10\n∴直线AB与x轴的交点为D(5,0),∴S△OCD=12×5×1=52.9.解析 (1)剩余的证明如下:∴∠DPN=∠PDN,∴DN=PN,同理CN=PN,∴CN=DN.(2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°,∴∠ACD=45°+60°=105°,又∵∠D=∠B=30°,∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°,∴∠APC=180°-45°-45°=90°,△APC是等腰直角三角形,∴PA=PC,∠CPD=90°,在△CPD和△APB中,∠CPD=∠APB,∠D=∠B,PC=PA,∴△CPD≌△APB(AAS),∴CD=AB=2,∵∠CPD=90°,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,∴同(1)得CN=DN,∴PN=12CD=1.10.解析 (1)补充的过程如下:∴BMCN=BDCD,∵BDCD=12,∴BMCN=12,∵S△ABP=12·BM·AP,S△ACP=12·CN·AP,∴S△ABP=12S△ACP.(2)同(1)可得BMCN=1n-1,10\n∵S△ABP=12·BM·AP,S△APC=12·CN·AP,∴S△ABP=1n-1S△ACP.10
