2022年广东省实验中学附属天河学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2022•婺城区二模）﹣5的相反数是（ ） A．5B．﹣5C．±5D．﹣考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．解答：解：﹣5的相反数是5．故选A．点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．（3分）（2022•珠海）计算﹣2a2+a2的结果为（ ） A．﹣3aB．﹣aC．﹣3a2D．﹣a2考点：合并同类项．专题：推理填空题．分析：根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案．解答：解：﹣2a2+a2，=﹣a2，故选D．点评：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：系数是﹣2+1=﹣1，题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目． 3．（3分）2022年广东省人口数超过104000000，将104000000这个数用科学记数法表示为（ ） A．0.104×109B．1.04×109C．1.04×108D．104×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于104000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：104000000=1.04×108．故选C．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 4．（3分）化简的结果是（ ） A．B．C．D．考点：约分．分析：先将分子与分母进行因式分解，再约去它们的公因式即可．15\n解答：解：==﹣．故选C．点评：本题考查了约分的定义及方法，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 5．（3分）（2022•陕西）如图是由正方体和圆锥组成的几何体，它的俯视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．解答：解：圆锥的俯视图是圆及一点，正方体的俯视图是正方形；由图知：圆锥的底面圆直径与正方形的边长相等，故俯视图中的圆应该内切于正方形．故选D．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 6．（3分）（2022•兰州）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ） A．20°B．30°C．40°D．50°考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题；压轴题．分析：先连接BC，由于AB是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=25°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25°，再利用三角形外角性质可求∠D．解答：解：如右图所示，连接BC，∵AB是直径，∴∠BCA=90°，又∵∠A=25°，∴∠CBA=90°﹣25°=65°，15\n∵DC是切线，∴∠BCD=∠A=25°，∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．故选C．点评：本题考查了直径所对的圆周角等于90°、弦切角定理、三角形外角性质．解题的关键是连接BC，构造直角三角形ABC． 7．（3分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则此圆锥的表面积为（ ） A．15πB．24πC．34πD．75π考点：圆锥的计算．分析：圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．解答：解：圆锥表面积=π×32+π×3×5=24π．故选B．点评：本题考查圆锥全面积公式的运用，掌握公式是关键． 8．（3分）（2022•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ） A．B．C．D．考点：菱形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=cm，15\n故选D．点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 9．（3分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（ ） A．B．C．D．考点：规律型：图形的变化类；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的性质．专题：规律型．分析：易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．解答：解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2=；第三个矩形的面积是（）2×3﹣2=；…故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2=（）n﹣1=．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 10．（3分）（2022•海淀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（，1），点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC、当C（x，y）在第一象限内时，下列图象中，可以表示y与x的函数关系的是（ ）15\n A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：应用题；压轴题．分析：通过分析等边三角形的边长变化得到点C的变化情况，从而利用排除法求得正确答案．解答：解：在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于点F，连接AD，CD，OA，作AP⊥OB于P，∵点A的坐标为（，1），∴OP=，AP=1∴OA===2，∴sin∠AOP==，∴∠AOP=30°，∴∠AOD=60°，∴△AOD是等边三角形，∴AO=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAB，∴△ADC≌△AOB，∴∠ADC=∠AOB=150°，∵∠ADF=120°，∴∠CDF=30°，∴DF=CF，∴y﹣2=x，即y=x+2．又x＞0，则下列图象中，可以表示y与x的函数关系的是选项A．故选A．点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2022•芜湖）分解因式：x3﹣2x2y+xy2= x（x﹣y）2 ．15\n考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：常规题型．分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．故答案为：x（x﹣y）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．（3分）在中，有理数的个数是 3 个．考点：实数．分析：根据有理数的定义：是整数与分数的统称即可作出判断．解答：解：sin45°=是无理数；，π是无理数；，0.3，=2是有理数．故答案是：3．点评：此题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． 13．（3分）（2022•新疆）当x= ﹣1 时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值．考点：二次函数的最值．分析：先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．解答：解：∵二次函数y=x2+2x﹣2可化为y=（x+1）2﹣3，∴当x=﹣1时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 14．（3分）（2022•聊城）某校举行物理实验操作测试，共准备了三项不同的实验，要求每位学生只参加其中的一项实验，由学生自己抽签确定做哪项实验．在这次测试中，小亮和大刚恰好做同一项实验的概率是 ．考点：列表法与树状图法．专题：压轴题；图表型．分析：先根据题意画出树状图，从图上可知小亮和大刚恰好做同一项实验的情况有3种，共有9种等可能的结果，再根据概率公式求解即可．解答：解：如图所示：15\n小亮和大刚恰好做同一项实验的情况有3种，共有9种等可能的结果，故概率=3÷9=．故答案为．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．（3分）（2022•玉林）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D= ．考点：旋转的性质．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的判定得出△BCC′是等边三角形，再利用已知得出DC′是△ABC的中位线，进而得出DC′=BC=．解答：解：∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5，∴△BCC′是等边三角形，∴CC′=5，∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位线，∴DC′=BC=，故答案为：．15\n点评：此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是△ABC的中位线是解题关键． 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A﹣B﹣C﹣D﹣A滑动到A为止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B﹣C﹣D﹣A﹣B滑动到B为止，M为QR的中点，在这个过程中，线段BM的长为 1 ，点M所经过的路线围成的图形的面积为 4﹣π ．考点：直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；扇形面积的计算．专题：压轴题．分析：根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出BM=QR，代入求出即可；点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积，求出即可．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵M为直角三角形QBR的中点，∴BM=QR=×2=1；根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，即点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．∵正方形ABCD的面积为2×2=4，4个扇形的面积为4×=π，∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4﹣π，故答案为：1，4﹣π．点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线性质，扇形的面积的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半． 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15\n17．（12分）（1）解分式方程：（2）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．考点：解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．解答：解：（1）去分母得：x2+2x﹣2=x2﹣x，解得：x=，经检验是分式方程的解；（2），由①得：x≤4；由②得：x＞2，则不等式的解集为2＜x≤4，表示在数轴上，如图所示：点评：此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18．（10分）（2022•肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．解答：证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），15\n∴BC=AD，（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 19．（10分）（2022•桂林）先化简，再求值：﹣（x2﹣y2+），其中x=，y=3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：（a+b）c=ac+bc，运用分配律可约去各个分式的分母，使计算简便，再把数代入求值．解答：解：原式=﹣（x+y）（x﹣y）﹣（2分）=﹣（x﹣y）﹣（3分）=﹣（x﹣y）（4分）=y﹣x（5分）当x=，y=3时，原式=3﹣．（6分）点评：此题根据乘法的分配律先进行分式的乘法运算，然后再进行加减的运算，使运算简单化了，计算过程要注意符号间的变化． 20．（10分）（2022•井研县一模）某电视台组织的一个知识竞赛栏目中，预赛有16道题，预赛的规则是：答对一题得6分，不答或答错一题扣2分，得分超过60分的可以进入决赛，那么选手要想进入决赛至少应答对多少道题？考点：一元一次不等式的应用．专题：应用题．分析：由题意可知：答对的才得分，答错或不答的扣2分，则答对的总分﹣答错或不答扣的总分＞60分，则设选手要想进入决赛至少应答对x道题，即6x﹣2（16﹣x）＞60，据此可以列不等式求解即可．解答：解：设选手要想进入决赛至少应答对x道题，根据题意得6x﹣2（16﹣x）＞60解得x＞11.5则取x=12答：选手要想进入决赛至少应答对12道题．点评：本题重点要理解不答或答错是要扣分的，最后根据题意列出不等式关系式求解即可．准确的找到不等关系列不等式是解题的关键． 21．（10分）（2022•宁波）某学校要成立一支由6名女生组成的礼仪队，初三两个班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔．每位女生的身高统计如图，部分统计量如表：平均数标准差中位数甲队1.720.038乙队0.0251.70（1）求甲队身高的中位数；（2）求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的频率；15\n（3）如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪一队将被录取？请说明理由．考点：条形统计图；频数与频率；加权平均数；中位数；方差；标准差．分析：（1）根据中位数的定义，把甲队队员身高从高到矮排列，找出位置处于中间的数即可；（2）根据条形图可得到乙队队员每个人的身高，再用总身高÷队员人数=平均数身高；身高不小于1.70米的频率=；（3）根据标准差的意义可以得到答案；标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．解答：解：（1）把甲队队员身高从高到矮排列：1.76，1.75，1.75，1.71，1.70，1.65，位置处于中间的两数为：1.75，1.71，故甲队身高的中位数是米；（2）（1.70+1.68+1.72+1.70+1.64+1.70）=1.69米，故乙队身高的平均数是1.69米，身高不低于1.70米的频率为；（3）∵S乙＜S甲，∴乙队的身高比较整齐，乙队将被录取．点评：此题主要考查了条形图，中位数，平均数，标准差，频率，关键是能正确从条形图中获取信息，掌握平均数，中位数的定义． 22．（10分）如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的概率．考点：列表法与树状图法．分析：15\n（1）首先利用画树状图的方法，求得所有点的等可能的情况，然后再求得点（x，y）落在坐标轴上的情况，求其比值即可求得答案；（2）求得点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内所有情况，即可求得答案．解答：解：（1）树状图得：∴一共有6种等可能的情况点（x，y）落在坐标轴上的有4种，∴P（点（x，y）在坐标轴上）=；（2）∵点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的有（0，0），（（0，﹣1），∴P（点（x，y）在圆内）=．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．（12分）（2022•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．考点：解直角三角形．专题：压轴题．分析：过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，进而可得出答案．解答：解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12，∴BC=AC=12∵AB∥CF，∴BM=BC×sin45°=12×=12CM=BM=12，在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴∠EDF=60°，∴MD=BM÷tan60°=4，∴CD=CM﹣MD=12﹣4．15\n点评：本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 24．（14分）（2022•宜昌）如图，⊙O的直径BC=4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC=2，A是线段BO上一动点，连接AD交⊙O于G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O于点H，连接GH交BC于E．（1）当点A是BO的中点时，求AF的长；（2）若∠AGH=∠AFD，求△AGH的面积．考点：切线的性质；余角和补角；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；动点型．分析：（1）当点A是BO的中点时，根据△ACD∽△FCA，可将AF的长求出；（2）当GH为⊙O的直径时，根据△AGH∽△AFD，可将△AFD的面积求出；当GH不是直径时，可知△AGH为等腰直角三角形，从而可将△AFD的面积求出．解答：解：（1）∵BC=4，A是OB的中点∴AC=3又∵DC为⊙O的切线∴∠ACD=∠ACF=90°∵AD⊥AF∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余∴∠ADC=∠CAF∴△ACD∽△FCA∴CD：AC=AC：FC即2：3=3：FC∴FC=∴AF===；（2）∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG，∴△AGH∽△AFD，∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF，∴AE=GE=HE，15\n①如图1，如果GH是直径（即A与B重合，E与O重合），那么GH=4；在直角△AFD中，FC=8，FD=10，∵△AGH∽△AFD，∴△AGH与△AFD相似比为GH：FD=4：10，∴这两个相似三角形的面积比为16：100，而△AFD的面积为20，∴△AGH的面积=20×16÷100=3.2；②如图2，如果GH不是直径，由GE=HE，根据垂径定理的推论可得GH⊥BC，∴AC垂直平分GH，∴AG=AH，且GH∥FD，而∠GAH=90°，则∠AGH=45°．∴∠D=∠AGH=45°，∴在直角三角形△ACD中，∠DAC=45°．∴AC=CD=2而OC=2，∴A、O点重合，故AG=AH=2∴△AGH的面积=2．点评：本题考查综合应用圆，相似三角形等知识的推理论证能力． 25．（14分）（2022•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．15\n考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．解答：解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为：a2+a+2，即点N（a，a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（a2+a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB；（3）连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，15\n∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴=，PF2=PA×PB=，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG==，∴PO=PG+GO=，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k=，b=，∴直线PF：y=x+，解方程x2+x+2=x+，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y=，∴M（﹣3，）．点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点． 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