江苏省南京市鼓楼区2022年中考数学一模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．4的算术平方根是（ ）A．2B．﹣2C．﹣D．±2 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D． 3．计算（﹣）÷×cos60°﹣2022°的结果是（ ）A．B．-﹣C．D．-﹣ 4．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ）A．B．2C．3D．4 5．在二次函数y=ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表：x…﹣2023…y…8003…则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①④⑤ 6．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）A．120°B．135°C．150°D．45° 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总共20分）7．﹣3的倒数是 ，﹣3的绝对值是 ． 25\n8．红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为 ． 9．若式子有意义，则x的取值范围是 ． 10．某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、17、16、18，这组数据的中位数是 ． 11．计算﹣的结果是 ． 12．已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是 ． 13．如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为 ． 14．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是 ． 15．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有 个． 16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是 ．25\n 三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．解方程：． 18．先化简：÷﹣，再选取一个恰当的x的值代入求值． 19．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形． 20．在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片，这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率． 25\n21．“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？ 22．学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件．各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元）12108（1）学校购买二等奖奖品 件，三等奖奖品 件；（用含x的代数式表示）（2）若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元？ 23．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 24．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．25\n（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值． 25．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x= 小时，货车和轿车相距30千米． 26．在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离．一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离．（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段 的长度．（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，那么线段AD与线段BC的距离为 ．（3）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段AB的距离为1.5cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD．注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域．（保留画图痕迹）25\n 27．【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是 ．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．[类比应用]如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=，求四边形ABCD的面积． 25\n2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．4的算术平方根是（ ）A．2B．﹣2C．﹣D．±2考点：算术平方根．分析：根据算术平方根的定义，即可解答．解答：解：∵22=4，∴4的算术平方根是2，故选：A．点评：本题考查了算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．点评：本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．计算（﹣）÷×cos60°﹣2022°的结果是（ ）A．B．-﹣C．D．-﹣考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及乘除运算法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣××﹣1=﹣，故选B．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△25\nDEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ）A．B．2C．3D．4考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，∴（BC：EF）2=1：2，解得BC：EF=1：，∵BC=1，∴EF=．故选A．点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方，比较简单，熟记性质是解题的关键． 5．在二次函数y=ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表：x…﹣2023…y…8003…则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①④⑤考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．解答：解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，∴解得：∴y=x2﹣2x，∵c=0，∴图象经过原点，故①正确；∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，故②错误；把x=﹣1代入得，y=3，∴图象经过点（﹣1，3），故③正确；∵抛物线的对称轴是x=1，∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故⑤正确；故选：B．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．25\n 6．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）A．120°B．135°C．150°D．45°考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．分析：先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°﹣2y，∠BAD=2x﹣45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°﹣2x，∠BCE=180°﹣2y，∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x，∠BCD=225°﹣2y，∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x）=2x﹣45°，∴2x﹣45°=225°﹣2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意列出方程是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总共20分）7．﹣3的倒数是 ﹣ ，﹣3的绝对值是 3 ．考点：倒数；绝对值．分析：根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．解答：解：﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是3，故答案为：，3．25\n点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 8．红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为 7.7×10﹣6 ．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6故答案为：7.7×10﹣6．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 9．若式子有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2 ．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案是：x≥﹣2．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 10．（2分）（2022•南京一模）某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、17、16、18，这组数据的中位数是 17.5 ．考点：中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．解答：解：题目中数据共有6个，故中位数是按从小到大排列后第3，第4两个数的平均数作为中位数，16，16，17，18，18，20，故这组数据的中位数是（17+18）=17.5．故答案为：17.5．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 11．计算﹣的结果是 ﹣ ．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．25\n解答：解：原式=﹣2=﹣．故答案为﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 12．已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是 65π ．考点：圆锥的计算；点、线、面、体．分析：首先确定圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用侧面积计算公式直接求得圆锥的侧面积即可．解答：解：∵∠C=90°，AB=13，AC=12，∴BC=5，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长=10π，侧面积=×10π×13=65π，故答案为：65π．点评：考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13．如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为 ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．解答：解：设点A坐标（x，），∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，25\n∴D（x，），∴过点D的反比例函数的解析式为y=．∴k的值为．故答案为：．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意得出D点坐标是解答此题的关键． 14．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是 3 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．解答：解：当OP⊥AB时，OP的值最小，则AP′=BP′=AB=4，如图所示，连接OA，在Rt△OAP′中，AP′=4，OA=5，则根据勾股定理知OP′=3，即OP的最小值为3．点评：本题主要考查了勾股定理、垂径定理．注意两点之间，垂线段最短是解答此题的关键． 15．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有 3 个．考点：平行四边形的判定；坐标与图形性质．分析：利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案．解答：解：如图所示：当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，当AB平行且等于N′M′时，四边形ABN′M′是平行四边形．当AB为对角线时，四边形ABN′M′是平行四边形．25\n故符合题意的有3个点．故答案为：3．点评：此题考查了平行四边形的判定，结合AB的长分别确定M，N的位置是解决问题的关键． 16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是 6﹣2≤x≤4 ．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：此题需要运用极端原理求解：①BP最小时，F、D重合，由折叠的性质知：AF=PF，在Rt△PFC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得BP的值，即BP的最小值；②BP最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=34，即BP的最大值为4；根据上述两种情况即可得到BP的取值范围．解答：解：如图：①当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=6；在Rt△PFC中，PF=6，FC=4，则PC=2；∴BP=xmin=6﹣2；②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=4，即BP的最大值为4；故答案为：6﹣2≤x≤4．25\n点评：此题主要考查的是图形的翻折变换，正确的判断出x的两种极值下F、E点的位置，是解决此题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．解方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题的最简公分母是x（x﹣1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．解答：解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根． 18．先化简：÷﹣，再选取一个恰当的x的值代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•﹣25\n=﹣==，当x=2时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．解答：（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形．（2）解：连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，25\n∴AC==5，∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴=，即=，∴CG=，∵FG=CG，∴FC=2CG=，∴AF=AC﹣FC=5﹣=，∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 20．在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片，这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后 不放回 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率．25\n考点：列表法与树状图法．分析：（1）根据小明画出的树形图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以判断；（2）根据本实验是一个不放回试验作出树状图即可；（3）根据树状图利用概率公式求解即可．解答：解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，∴甲同学的实验是一个不放回实验，故答案为：不放回；（2）补全树状图为：（3）由树状图得：共有12种情况，两次抽到的数字之和为偶数的有4种，故P（两次抽到的数字之和为偶数）==．点评：本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率． 21．“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有 200 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．25\n分析：（1）根据D类人数除以D所占的百分比，可得答案；（2）根据抽测人数乘以B类所占的百分比，C类所占的百分比，可得各类的人数，根据各类的人数，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案．解答：解：（1）本次活动共参与的市民30÷15%=200人，故答案为：200；（2）B的人数有200×28%=56人，C的人数有200×52%=104人，A的人数有200﹣56﹣104﹣30=10人，补全条形统计图如图：；（3）46×（1﹣28%﹣52%﹣15%）=2.3（万人），答：每天都用公共自行车的市民约有2.3万人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件．各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元）12108（1）学校购买二等奖奖品 2x﹣5 件，三等奖奖品 50﹣3x 件；（用含x的代数式表示）（2）若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元？考点：一元一次不等式的应用．分析：（1）一等奖奖品买x件，则二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件为（2x﹣5），进一步表示出三等奖；（2）根据题意列出不等式组即可求解，进一步根据数值选择费用最少的方案即可．解答：解：（1）学校购买二等奖奖品2x﹣5件，三等奖奖品45﹣x﹣（2x﹣5）=50﹣3x件；（2）由题意得解得：≤x＜，因为x为整数，所以一等奖的数量为x=8，9，10，11，12，13，14，15，16；则二等奖的数量对应为2x﹣5=11，13，15，17，19，21，23，25，27；25\n三等奖的数量对应为50﹣3x=26，23，20，17，14，11，8，5，2；当一二等奖的数量最少，三等奖的数量最多时，总费用最少为12×8+10×11+8×26=414元．点评：此题考查一元一次不等式组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键． 23．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，求出CE和DE的长，然后相加即可．解答：解：作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△AEC中，CE=AE•tan26.6°≈40×0.50=20m；在Rt△AED中，DE=AE•tan37°≈40×0.75=30m；∴CD=20+30=50m．答：贴塔的高度为50米．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，转化为解直角三角形问题是解题的关键． 24．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．25\n考点：切线的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）连结OD，如图，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠AED=90°，则OD⊥AB，再利用平行四边形的性质得CD∥AB，所以OD⊥CD，于是根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BE，通过圆周角定理将∠ADE的正弦值转化为∠ABE的正弦值．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∴OD⊥AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，根据圆周角定理：∠ADE=∠ABE，∴sin∠ADE=sin∠ABE==．即∠DAE的正弦值是．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行四边形的性质． 25．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x= 25\n 小时，货车和轿车相距30千米．考点：一次函数的应用．分析：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）根据两图象相交的交点指的是两车相遇解答即可．（3）先由货车和轿车相距30千米列出方程解答即可．解答：解：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，可得：，解得：．所以线段CD对应的函数表达式为：y=120x﹣140（2≤x≤4.5）；（2）由图象可得：直线OA的解析式为：y=80x，根据两图象相交的交点指的是两车相遇，可得：80x=120x﹣140，解得：x=3.5，把x=3.5代入y=80x，得：y=280；所以E点的坐标为（3.5，280），即表示当货车出发3.5小时时货车和轿车相遇；（3）设货车出发xh后，可得：120x﹣140﹣30=80x，解得：x=4.25．故答案为：4.25．（3）由题意知，B（，0），∴BC段解析式为y=60x﹣20（≤x≤2），货车与轿车相距30km有四种情况：1）当≤x≤2时，80x﹣（60x﹣20）=30，解得x=；2）当2＜x≤时，80x﹣（120x﹣140）=30，解得x=；3）当＜x≤时，120x﹣140﹣80x=30，解得x=；25\n4）当＜x≤5时，400﹣80x=30，解得x=；∴x=．点评：本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程=速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键． 26．在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离．一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离．（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段 AC 的长度．（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，那么线段AD与线段BC的距离为 3 ．（3）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段AB的距离为1.5cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD．注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域．（保留画图痕迹）考点：作图—应用与设计作图；直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；点到直线的距离；平行线之间的距离．分析：（1）根据两图形之间距离定义，得出线段AB和直线l的距离即可；（2）首先过点D作DE⊥BC于点E，进而利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出DE的长；（3）根据两图形之间距离定义，利用CD的长为1cm，且线段CD与已知线段AB的距离为1.5cm，得出符合题意的图形是两个半圆以及矩形组成的图形．解答：解：（1）如图所示：过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段为：AC的长度；故答案为：AC；（2）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，∴∠A=60°则∠ACD=30°，25\n∴AC=2AD=4，∴AB=2AC=8，∴BD=6，则DE=BD=3；故答案为：3；（3）如图3所示：．点评：此题主要考查了应用设计与作图以及新定义，根据题意争正确把握两图形之间距离定义是解题关键． 27．【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是 等边三角形 ．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．[类比应用]如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=25\n，求四边形ABCD的面积．考点：几何变换综合题．分析：（1）易证△DEB≌△DAB′，则BD=DB′，∠BDB′=60°，所以△BDB′是等边三角形；（2）知等边三角形的边长为3，求出S△BDB′即可；【类比应用】类比（1），连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；易证△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=1，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面积和即可．解答：解：（1）如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，∵BD=B′D，∠BDB′=60°∴△BDB′是等边三角形；（2）由（1）知，△BCD≌△B′AD，∴四边形ABCD的面积=等边三角形BDB′的面积，∵BC=AB′=1∴BB′=AB+AB′=2+1=3，∴S四边形ABCD=S△BDB′==；【类比应用】如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；∵，∴△BCD≌△B′AD∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，∴∠BAB′=135°∴∠B′AE=45°，∵B′A=BC=，∴B′E=AE=1，∴BE=AB+AE=2+1=3，∴BB′=，∴S△ABB′=•AB•B′E=×2×1=1，S△BDB′==，∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′﹣S△ABB′=﹣1．25\n点评：本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键． 25
